Criterio de la media geométrica

En matemáticas, el criterio de la media geométrica es un criterio para probar la convergencia que permite la resolución de límites del tipo $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}}}$ .

Criterio de la media geométrica

Sea $\{a_{n}\}$ una sucesión de reales positivos con $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ , siendo $A>0$ . Entonces, $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}}}=A$ .

El criterio también es cierto si $A=+\infty$ .^[1]

Ejemplo

Como la sucesión $a_{n}={\frac {n^{2}+2}{2n^{2}}}$ converge a 1/2, entonces^[2]

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {6}{8}}\cdot ...{\frac {n^{2}+2}{2n^{2}}}}}={\frac {1}{2}}$

Corolario

Un corolario del criterio de la media geométrica es el criterio de la raíz, el cual establece que si una sucesión $\{a_{n}\}$ de reales positivos con $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}=A>0$ , entonces $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=A$ .