Descomposición de una aplicación lineal

Isomorfismo canónicoEditar

Definición y teoremaEditar

Sean   y   dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, o más generalmente, dos módulos sobre un mismo anillo. Sea   una aplicación lineal,   su núcleo e   su imagen o codominio.

Teorema: Existe un isomorfismo canónico  :

 

donde   se puede ver como la clase de   en   ("a" módulo "N") o como el conjunto   de los elementos de la forma   con  .

PruebaEditar

  1. Primero hay que verificar que   está bien definida, porque se ha definido   escogiendo un elemento   (un representante) de la clase  , y mirando su imagen por  . Hay que establecer que esta imagen no depende de esta elección.
    Sea entonces   otro elemento de  . Las clases de   y   son idénticas:  , lo que se puede escribir también:  . Entonces  , lo que significa que   (porque  , luego   también).
    Luego existe   en el núcleo de   tal que  , entonces   por linealidad.
  2.   es sobreyectiva: Todo elemento de la imagen   es por definición de la forma   que vale  ; luego pertenece también a  .
  3.   es inyectiva:   significa que  , es decir que  . Entonces   que es el elemento neutro de  .

 

Descomposición de una aplicación linealEditar

Este isomorfismo se completa naturalmente en una descomposición de la aplicación lineal:  , donde   es la inclusión canónica de   en   (  para todo  ), y   es la sobreyección canónica de   sobre   (  para todo  ):

 


En efecto:   para todo  .

El diagrama precedente es conmutativo en el sentido siguiente:
Cuando existen dos caminos para ir de un punto a otro del diagrama, respetando claro está la orientación de las flechas, entonces se obtiene el mismo resultado por la composición de las aplicaciones.
En este nuevo ejemplo, los caminos verdes y rojos dan la misma aplicación:   y el camino azul equivale al negro:  .


EjemplosEditar

1) Sea   la aplicación que asocia a un entero   su resto por la división euclidiana por 7 (escogido al azar).
Los restos posibles son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. La división de 6 por 7 da un resto de 6, mientras que la de 7 por 7 da como resto 0. Es por lo tanto lógico decidir que 0 sucede a 6 en este conjunto, que adquiere así una estructura circular. De hecho, se trata del anillo cíclico  :

  , provisto de la adición módulo 7 y de la multiplicación también módulo 7.


La aplicación   es lineal como propiedad de las congruencias, es sobreyectiva porque cada cifra entre 0 y 6 corresponde a un resto posible: basta con tomar el dividendo igual a la cifra.

No es inyectiva, y su núcleo es   porque los dividendos que dan restos nulos son claramente los múltiplos de 7.

Como la inclusión   es, como  , sobreyectiva, se vuelve biyectiva (una inclusión es por definición inyectiva) y podemos prescindir de ella en la descomposición:



La flecha en diagonal representa el isomorfismo canónico entre   y  .

2) Consideremos el producto vectorial en  , por un vector dado. Para fijar las cosas, sea   una base ortonormal directa del espacio usual, y estudiemos la aplicación que al vector   asocia el vector   (el producto vectorial se denota   o  , según los países).

Su descomposición es la siguiente:
La sobreyección   es asimilable a la proyección ortogonal sobre el plano   (mediante la identificación de una recta dirigida por   a su intersección con el plano anterior). En ella interviene la rotación   directa de 90 grados en el plano   perpendicular al vector  .
De hecho   es asimilable a   (gracias a la identificación anterior).
Esto no es de extrañar porque el producto vectorial y las rotaciones en el espacio están íntimamente ligadas (ver cuaterniones y rotación en el espacio).