Descomposición de una aplicación lineal

Isomorfismo canónico

Definición y teorema

Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, o más generalmente, dos módulos sobre un mismo anillo. Sea $f$ una aplicación lineal, $N=\ker(f)$ su núcleo e $I={\text{Im}}(f)$ su imagen o codominio.

Teorema: Existe un isomorfismo canónico $\phi$:

${\begin{matrix}\phi :&E/N&\longrightarrow &I\\\ &{\overline {a}}&\longmapsto &f(a)\end{matrix}}$

donde ${\overline {a}}={\hat {a}}=a+N$ se puede ver como la clase de $a$ en $E/N$ ("a" módulo "N") o como el conjunto $a+N=\{a+n:n\in N\}$ de los elementos de la forma $a+n$ con $n\in N$.

Prueba

1. Primero hay que verificar que $\phi$ está bien definida, porque se ha definido $\phi ({\hat {a}})$ escogiendo un elemento $a$ (un representante) de la clase ${\hat {a}}$, y mirando su imagen por $f$. Hay que establecer que esta imagen no depende de esta elección.
   Sea entonces $u\in {\hat {a}}$ otro elemento de ${\hat {a}}$. Las clases de $a$ y $u$ son idénticas: ${\hat {a}}={\hat {u}}$, lo que se puede escribir también: $a+N=u+N$. Entonces $u-a+N=N$, lo que significa que $u-a\in N$ (porque $n\in N$, luego $a-u+0$ también).
   Luego existe $n$ en el núcleo de $f$ tal que $u=a+n$, entonces $f(u)=f(a+n)=f(a)+f(n)=f(a)+0=f(a)$ por linealidad.
   
2. $\phi$ es sobreyectiva: Todo elemento de la imagen $I$ es por definición de la forma $f(a)$ que vale $\phi ({\hat {a}})$; luego pertenece también a ${\text{Im}}(\phi )$.
   
3. $\phi$ es inyectiva: $\phi ({\hat {a}})=0$ significa que $f(a)=0$, es decir que $a\in N$. Entonces ${\hat {a}}=a+N=o+N=N={\hat {o}}$ que es el elemento neutro de $E/N$.

$\square$

Descomposición de una aplicación lineal

Este isomorfismo se completa naturalmente en una descomposición de la aplicación lineal: $f=i\circ \phi \circ \pi$, donde $i$ es la inclusión canónica de $I$ en $F$ ($i(x)=x$ para todo $x\in I$), y $\pi$ es la sobreyección canónica de $E$ sobre $E/N$ ($\pi (a)={\hat {a}}$ para todo $a\in E$):

En efecto: $i\circ \phi \circ \pi (a)=i\circ \phi ({\hat {a}})=\phi ({\hat {a}})=f(a)$ para todo $a\in E$.

El diagrama precedente es conmutativo en el sentido siguiente:
Cuando existen dos caminos para ir de un punto a otro del diagrama, respetando claro está la orientación de las flechas, entonces se obtiene el mismo resultado por la composición de las aplicaciones.
En este nuevo ejemplo, los caminos verdes y rojos dan la misma aplicación: $g\circ f=j\circ h$ y el camino azul equivale al negro: $m\circ k=g$.

Ejemplos

1) Sea $f$ la aplicación que asocia a un entero $n$ su resto por la división euclidiana por 7 (escogido al azar).
Los restos posibles son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. La división de 6 por 7 da un resto de 6, mientras que la de 7 por 7 da como resto 0. Es por lo tanto lógico decidir que 0 sucede a 6 en este conjunto, que adquiere así una estructura circular. De hecho, se trata del anillo cíclico $\mathbb {Z} _{7}$:

$\mathbb {Z} _{7}=\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}},{\overline {5}},{\overline {6}}\}$

, provisto de la adición módulo 7 y de la multiplicación también módulo 7.

La aplicación $f$ es lineal como propiedad de las congruencias, es sobreyectiva porque cada cifra entre 0 y 6 corresponde a un resto posible: basta con tomar el dividendo igual a la cifra.

No es inyectiva, y su núcleo es $\{...,-21,-21,-7,0,7,14,21...\}=7\mathbb {Z}$ porque los dividendos que dan restos nulos son claramente los múltiplos de 7.

Como la inclusión $i$ es, como $f$, sobreyectiva, se vuelve biyectiva (una inclusión es por definición inyectiva) y podemos prescindir de ella en la descomposición:

La flecha en diagonal representa el isomorfismo canónico entre $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$ y $\mathbb {Z} _{7}$.

2) Consideremos el producto vectorial en $\mathbb {R} ^{3}$, por un vector dado. Para fijar las cosas, sea $(\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} )$ una base ortonormal directa del espacio usual, y estudiemos la aplicación que al vector $\mathbf {u}$ asocia el vector $\mathbf {i} \times \mathbf {u}$ (el producto vectorial se denota $\times$ o $\wedge$, según los países).

Su descomposición es la siguiente:
La sobreyección $\pi$ es asimilable a la proyección ortogonal sobre el plano $(Oyz)$ (mediante la identificación de una recta dirigida por $\mathbf {i}$ a su intersección con el plano anterior). En ella interviene la rotación $r$ directa de 90 grados en el plano $(Oyz)$ perpendicular al vector $\mathbf {i}$.
De hecho ${\overline {f}}$ es asimilable a $r$ (gracias a la identificación anterior).
Esto no es de extrañar porque el producto vectorial y las rotaciones en el espacio están íntimamente ligadas (ver cuaterniones y rotación en el espacio).

• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

• Datos: Q5689315