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La imagen de una retícula ortogonal definida sobre un cuadrado, obtenida a partir de un difeomorfismo del cuadrado en sí mismo, conservando invariante el contorno.

En topología diferencial, un difeomorfismo es un isomorfismo en la categoría de las variedades diferenciables (es decir, un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable con inversa diferenciable). Como tal un difeomorfismo es una aplicación que posee aplicación inversa, por supuesto estas dos aplicaciones son diferenciables.

DefiniciónEditar

Dadas dos variedades   y  , una aplicación   es un difeomorfismo si es un homeomorfismo diferenciable con inversa diferenciable. Si estas aplicaciones son r veces continuamente diferenciables , esto es son miembros de   entonces f es un Cr-difeomorfismo o difeomorfismo de clase Cr.

Dos variedades   y   son difeomorfas   si existe un difeomorfismo f entre ellas.

AlternativaEditar

Las transformaciones regulares son llamadas difeomorfismos de la clase  

Una aplicación   de   es regular si:

  1.   es de la clase  
  2.   es univalente
  3.   [1]

Difeomorfismos de subconjuntos de variedadesEditar

Dado un subconjunto   de una variedad   y un subconjunto  , una función   es diferenciable (suave) si para cada   existen un entorno   y una función diferencialbe (suave)   tal que   (nótese que g es una extensión de f). Se dice además que f es un difeomorfismo si es biyectiva, diferenciable y su inversa diferenciable.

Descripción localEditar

Ejemplo canónico. Si U, V son subconjuntos abiertos conexos de   tales que V es además simplemente conexo, una aplicación diferenciable f : UV es un difeomorfismo, si es una aplicación propia y si la aplicación progrediente o diferencial Dfx : RnRn es biyectiva en todo punto x de U.

Comentario 1. Es esencial que U sea simplemente conexo para que la función f sea globalmente invertible (si únicamente se exige la condición de que la derivada sea biyectiva en cualquier punto). Por ejemplo, considérese la "realificación" de la función compleja z2:

 

Entonces f es suprayectiva y satisface

 

así Dfx es biyectiva en todos los puntos aunque f no admite inversa, porque no es biyectiva, e.g., f(1,0) = (1,0) = f(−1,0).


EjemplosEditar

Puesto que cualquier variedad puede ser parametrizada localmente mediante  , podemos considerar algunas aplicaciones explícitas:

  • Sea
 
Podemos calcular la matriz jacobiana:
 
Esta matriz jacobiana tiene determinante cero si, y sólo si xy = 0. Vemos pues que f podría ser un difeomorfismo sobre cualquier conjunto que no se interseque con los ejes X o Y. Sin embargo, no es biyectiva dado que f(x,y) = f(-x,y), por lo que no es un difeomorfismo.
  • Sea
 
donde las   y   son números reales arbitrarios y los términos omitidos son de grado al menos dos en x e y. Calculamos la matriz jacobiana en el punto 0:
 
Vemos que g es un isomorfismo local en 0 si, y sólo si
 
es decir, los términos lineales en las componentes de g son linealmente independientes, como polinomios.


ReferenciasEditar

  1. Wendell H. Fleming Funciones de diversas variables Edición de AID( agencia para el desarrollo internacional), Ciudad de México, 1965

BibliografíaEditar