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En geometría y topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en . En una variedad diferenciable M podremos definir lo que es una función diferenciable , y campos de tensores diferenciables (incluidos campos de vectores). El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.

Índice

IntroducciónEditar

Para un desarrollo informal del tema

Generalización de los conceptos de curva y superficieEditar

Una variedad diferenciable representa una generalización, en dos aspectos básicos, del concepto de superficie diferenciable:

  • Supone la generalización a cualquier número de dimensiones. En dimensión 1, una variedad es una curva. En dimensión 2, una superficie sería un ejemplo de variedad.
  • Supone otra generalización al intentar definir una variedad de modo intrínseco. Por ejemplo, una curva o una superficie suelen describirse embebidas en un espacio ambiente R³, pero podrían describirse sin hacer alusión a él. Es más, existen casos de variedades de dimensión 2 que no podrán verse embebidas en un espacio euclídeo de dimensión 3 (pero sí de dimensión superior).

Antes de hacer la segunda generalización, podríamos pensar que una variedad es diferenciable, informalmente hablando, si cada uno de sus puntos tiene espacio tangente, es decir, no tiene "picos" ni "filos". Pero para hacer una definición formal necesitaremos que esta no haga alusión a un posible embebimiento de la variedad en un espacio ambiente.

Un poco de historiaEditar

Riemann, en el siglo XIX, observó la importancia de definir la noción de variedad de un modo intrínseco, sin requerir que el espacio topológico subyacente estuviera embebido en un espacio afín. La definición formal precisa fue introducida por primera vez por Hermann Weyl en 1913.

Las variedades diferenciables aparecen en diversos campos de la Física:

  • En relatividad general, el espacio (de dimensión 3) y el tiempo forman una variedad de dimensión 4 llamada espacio-tiempo.
  • Muchas teorías modernas, como la teoría de cuerdas, operan en una variedad de dimensión mayor que 4.
  • En mecánica clásica, para describir la situación de un sólido rígido en el espacio se necesitan 6 parámetros (3 que describan la posición de su centro de masas y otros 3 que corresponden a los grados de libertad rotacional). Una situación concreta de un sólido quedará descrita como un punto en una variedad diferenciable de dimensión 6, que se denomina espacio de configuración del sólido rígido.

Conceptos previos de variedades topológicasEditar

Recordemos los conceptos de variedad topológica y de cartas:

  • Una variedad topológica de dimensión   es un espacio topológico   (que suele suponerse Hausdorff y ANII) en el que para cada   existe un entorno abierto   homeomorfo a un abierto de   mediante  .
  • Un par   bajo estas condiciones se denomina carta o sistema coordenado sobre   para  , y la aplicación   se denomina aplicación coordenada para  .
  • Cada aplicación coordenada se podrá desglosar como un conjunto de n funciones coordenadas  : en efecto, si para cada   convenimos en representar por   a la función   que a cada   le hace corresponder   (es decir, la  -ésima coordenada de  ), denominaremos a la aplicación   como la función coordenada para  .

Podríamos cuestionarnos cómo sería posible determinar si una función   definida en una variedad topológica es una función diferenciable. Aparentemente bastaría exigir que  , su expresión en un entorno coordenado sea diferenciable. Pero esta condición no sería consistente si realizamos un cambio de carta. En efecto, si observamos su expresión en otra carta:

 ,

necesitaremos para mantener la consistencia que el cambio de cartas representado por el último paréntesis sea diferenciable. Esta exigencia es la base de la definición de estructura diferenciable.

DefiniciónEditar

Estructura diferenciableEditar

Dada una variedad topológica   y un número entero  , una estructura diferenciable (o atlas maximal)   de clase   sobre   es una familia   de sistemas coordenados sobre   de manera que se cumpla que:

  1.   recubre M, es decir,  ,
  2. dados dos cualesquiera   ha de ocurrir que la aplicación  , llamada cambio de cartas sea diferenciable de orden  .
  3.   es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todas las familias de entornos coordenados sobre   bajo las condiciones 1 y 2.

Variedad diferenciableEditar

Se dice que el par   formado por la variedad topológica M de dimensión n y por la estructura diferenciable F de clase r es una variedad diferenciable de dimensión   y clase  .

Hay una cierta confusión sobre la terminología variedad diferenciable (sin más especificaciones) y variedad suave. En cualquier caso, para evitar confusiones, todos los textos indican qué entienden por variedad diferenciable.

Subvariedad diferenciableEditar

Es cualquier subconjunto de una variedad diferenciable que mediante la topología inducida de la variedad original sigue teniendo estructura de variedad diferenciable. En general las subvariedades diferenciables son los subconjuntos de puntos para los cuales es posible definir localmente una función diferenciable f que satisfaga:

 

Los conjuntos no suaves, o que satisfaciendo una ecuación similar a la anterior pero donde f no fuera diferenciable en general no constituyen subvariedades diferenciables.

Cálculo en variedadesEditar

Aspectos que se generalizanEditar

Muchas de las técnicas del cálculo multivariable son aplicables mutatis mutandis en variedades diferenciables. Podemos definir la derivada direccional de una función diferenciable en la dirección marcada por un vector tangente a la variedad. Dicha derivada se comportará de modo similar al de la derivada ordinaria de una función definida en el espacio euclídeo, al menos localmente: habrá versiones del teorema de la función implícita y de función inversa.

Sin embargo, la derivada direccional de un campo de vectores no estará definida de forma directa. Existen varias generalizaciones que captan ciertas características formales de la derivación en espacios euclídeos. Las principales son:

  • La derivada de Lie, que queda definida de forma única por la estructura diferenciable, pero deja de satisfacer alguna de las propiedades de la derivada direccional.
  • Una conexión afín que no está definida de forma única, por lo que debe ser especificada como un dato añadido a la variedad. Presenta una generalización más completa de las características de la derivada direccional ordinaria.

Las ideas del cálculo integral también pueden extenderse a las variedades diferenciables. Encontrarán su expresión natural en el lenguaje del cálculo exterior con formas diferenciables. Teoremas fundamentales del cálculo integral en varias variables, en particular el teorema de Green, el de la divergencia y el de Stokes se generalizan en un solo teorema llamado teorema de Stokes.

Vectores tangentes en un puntoEditar

En una variedad abstracta, al no considerarse embebida en ningún espacio ambiente, no podremos visualizar el espacio tangente como un subespacio afín del ambiente. La generalización del concepto de espacio tangente requerirá concebir los vectores tangentes como operadores que representan una derivada direccional.

En   podemos visualizar un vector   como un operador   que actúa sobre una función   diferenciable en un entorno cualquiera de p, y nos devuelve su derivada en la dirección marcada por  :

 

En los años 1960 surge la definición axiomática de vector tangente en un punto de una variedad, como generalización de lo anterior. Un vector   tangente a una variedad será un operador   que satisfaga:

  1. la condición de linealidad:  
  2. la regla de Leibniz:  .

El conjunto de vectores tangentes en un punto forman un espacio vectorial de la misma dimensión que la variedad llamado espacio tangente en p y notado como  . En principio, espacios tangentes en puntos distintos no son comparables. Pero podemos formar con ellos una variedad de dimensión el doble de la dimensión de M, que se llamará fibrado tangente y se notará como TM. Como conjunto,  

Aplicaciones diferenciablesEditar

Una aplicación   se dirá diferenciable si su expresión en cartas lo es. Formalmente, F es diferenciable si para todo punto p de M podemos encontrar una carta   de M que lo contenga y una carta   de N que contenga a F(p) tales que   sea diferenciable.

Una aplicación diferenciable induce un homomorfismo de espacios vectoriales   entre los espacios tangentes respectivos. Al igual que en el cálculo diferencial ordinario, podremos aproximar un objeto diferenciable (F) por un objeto lineal (   ).

Relación con variedades topológicasEditar

Dada una variedad topológica, nos podemos preguntar si admitirá siempre una estructura diferenciable   o si dicha estructura será única. En primer lugar, según un teorema debido a Whitney, en cualquier variedad con una estructura   con k>0, hay una única estructura C compatible con la anterior.

La existencia y unicidad está garantizada en dimensiones menores que 4:

  • Toda variedad topológica de dimensión 1, 2, o 3 tiene una única estructura diferenciable (salvo difeomorfismos).

La situación es diferente en dimensión superior:

  • Se conocen ejemplos de variedades topológicas que no admiten ninguna estructura diferenciable (Teorema de Donaldson),
  • y de otras que admiten múltiples estructuras difeomorfas (incluso una cantidad no numerable de ellas).

Algunos ejemplos:

  • Sólo hay una estructura diferenciable (salvo difeomorfismos) sobre   excepto cuando n = 4, caso que admite un número no numerable de estructuras diferenciables.
  • La siguiente tabla muestra el número de estructuras diferenciables (módulo homeomorfismos que conservan la orientación) sobre la n-esferas para dimensiones n < 19. Las esferas con estructuras diferenciables diferentes de la usual se conocen con el nombre de esferas exóticas.
Dimensión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Estructuras 1 1 1 ? 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16

Definiciones alternativasEditar

Existen al menos dos maneras de definir lo que es una variedad diferenciable, ambas equivalentes: por medio de parametrizaciones o por medio de aplicaciones coordenadas. La diferencia es sutil, pero importante.

Además, en el caso de espacios euclídeos existe una serie de definiciones equivalentes que son más sencillas que en el caso general.

Definición mediante parametrizaciones.Editar

Sea   un conjunto (en principio pudiera ser vacío, pero es un caso trivial),   y   dos números enteros, una familia   en la que cada   es un abierto y cada   una aplicación inyectiva, de manera que se cumpla que:

  1.  ,
  2. dados cualesquiera dos   de forma que   ha de ocurrir que   y   son abiertos de   y la aplicación   es diferenciable de orden   en   (i.e.,  ).

bajo estas condiciones, cada par   de manera que   se denomina una carta local o sistema de coordenadas de   en  ,   se denomina parametrización de   para  ,   se denomina entorno coordenado de  , y la familia   es denominada una atlas sobre  . Si un atlas   es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todos los atlas sobre   (por supuesto bajo las condiciones 1 y 2, ya que de otra manera no sería atlas) se dice que el atlas   es una estructura diferenciable sobre  .

El conjunto   (donde aquí   representa la topología del conjunto  ) no es otra cosa que la topología final en   para la familia  . Cuando se toma una estructura diferenciable   sobre   y la topología final en   para esa estructura diferenciable hace de   un espacio topológico que cumple el segundo axioma de numerabilidad y la propiedad de Hausdorff, entonces se dice que el par   formado por el conjunto   y la estructura diferenciable   sobre   es una variedad topológica de dimensión   y clase  . Cuando además  , entonces se dice que   es una variedad diferenciable (de dimensión   y clase  ).

Definiciones en espacios euclídeosEditar

Existen al menos cuatro maneras (todas equivalentes entre sí) de definir una variedad diferencial cuando se las considera como subconjuntos de un espacio euclídeo. Cada una de ellas es útil, y dependiendo del contexto o de la dificultad del problema se usará una u otra, o incluso se combinarán varias a la vez.

Representación implícita de una variedad diferenciable

Sea   un espacio euclídeo de dimensión   y sea  . Diremos que   es una variedad diferenciable en   de dimensión   (donde   es un número entero) y clase   (donde   es un número entero) si para cada   existe un entorno abierto   de   y una aplicación   de manera que:

  1.   es de clase   sobre   (esto es,  ),
  2. la matriz jacobiana de   tiene rango   (es decir,  ),
  3.  .

A la igualdad   la llamaremos representación implícita local de la variedad   en el punto  , o simplemente diremos que la variedad viene dada implícitamente por   en  .

Si existe un abierto   y una aplicación   (donde   es un número entero) de manera que  , a la igualdad   se la denomina representación implícita global de la variedad, o se dice simplemente que la variedad viene dada implícitamente por  . En este caso podemos tomar como representación implícita local para cada punto de   el abierto   y la aplicación  .

Representación explícita de una variedad diferenciable

Sea   un espacio euclídeo de dimensión   y sea  . Diremos que   es una variedad diferenciable en   de dimensión   (donde   es un número entero) y clase   (donde   es un número entero) si para cada   existen:

  1. una base   de  ,
  2. un abierto   de  , donde se define el subespacio   como el espacio generado por  ,
  3. un abierto   de  , donde se define el subespacio   como el espacio generado por  ,
  4. una aplicación   de clase r sobre V (esto es,  )de manera que   y  .

La última condición equivale a decir que   es la gráfica   de  . A la igualdad  , o simplemente a la aplicación  , se le denomina representación explícita local de la variedad   en el punto  . Si existe una única aplicación   tal que  , entonces   se denomina representación explícita global de la variedad.

Representación difeomórfica local de una variedad diferenciable

Sea   un espacio euclídeo de dimensión   y sea  . Diremos que   es una variedad diferenciable en   de dimensión   (donde   es un número entero) y clase   (donde   es un número entero) si para cada   existe un entorno abierto   de   y una aplicación   de manera que:

  1.   es un difeomorfismo de clase   entre   y su imagen (esto es,   es inyectiva),
  2.  .

A la aplicación   la llamaremos representación difeomórfica local de la variedad   en el punto  .

Hay que observar que, a consecuencia de ser   difeomorfismo local y   abierto,   es también un abierto de  .

Representación paramétrica de una variedad diferenciable

Sea   un espacio euclídeo de dimensión   y sea  . Diremos que   es una variedad diferenciable en   de dimensión   (donde   es un número entero) y clase   (donde   es un número entero) si para cada   existe un entorno abierto   de  , un abierto no vacío  , un elemento   y una aplicación   de manera que:

  1.  ,
  2. la jacobiana   de   en   es inyectiva,
  3.   es un homeomorfismo de clase   sobre   (esto es,   es continua, abierta e inyectiva) entre   y   (con la topología relativa).

A la aplicación   la llamaremos representación paramétrica local de la variedad   en el punto  .

ReferenciasEditar

BibliografíaEditar

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  • Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry,volume I, Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, ISBN 0-914098-87-X.

Enlaces externosEditar