Discusión:Conjunto de Julia

La definición de conjuntos de Julia se puede generalizar a funciones racionales del siguiente modo.

Sea $f:C\to C$ un función racional, sea $f^{n}(z)$ iterar $n$ veces la función $f$. Considero la familia de funciones $\{f^{n}\}_{n\in N}$. Decimos que un punto $z\in J(f)$ si se cumple que la famila $\{f^{n}\}_{n\in N}$, no es normal en $z$.

Ahora si tenemos una familia $\{g_{n}\}_{n\in N}$, decimos que esta familia es normal en $z\in C$, si existe un entorno $U$ de $z$ tal que $\{g_{n}\}_{n\in N}$ posee una subsucesión convergente de funciones.

Si tomamos $F(f)=C-J(f)$, el complemento del conjunto de Julia, obtenemos el conjunto de Fatou. Que es el conjunto de puntos donde la familia $\{f^{n}\}_{n\in N}$ es normal, por definición es un conjunto abierto.

Se puede demostrar que, si $f$ es una función racional la definición anterior de conjunto de Julia es equivalente a la clausura del conjunto de puntos periódicos repelentes de $f$.

Un punto $z$ se dice periódico si existe $p$ tal que $f^{p}(z)=z$, si $p$ es el menor natural con esa característica se dice que es p-periódico. Si $p=1$ se dice que $z$ es un punto fijo.

Se puede clasificar a los puntos periódicos del siguiente modo. Sea $\lambda =|(f^{p})'(z)|$, entonces: si $\lambda >1$ se dice que $z$ es un punto repelente; si en cambio $\lambda =1$ se dice que $z$ es un punto indiferente; si $0<\lambda <1$ se dice que $z$ es un punto atractivo; si $\lambda =0$ se dice que $z$ es un punto superatractivo.

Si definimos $A(w)=\{z\in C/f^{n}(z)\to w\}$, donde $w$ es un punto atractivo, se puede probar que $J(f)=frA(w)$, aqui $fr(A)$ es la frontera de $A$.

En el caso de los polinomios, resulta que $\infty$ es un punto atractivo. Además el conjunto de Julia resulta ser compacto y por lo tanto acotado.

Luego $z\in J(f)$ si existen $w_{1}$ y $w_{2}$ arbitrariamente cerca de $z$ tal que $f^{n}(w_{1})\to \infty$ y $f^{n}(w_{2})\not \to \infty$, que es lo que se usa frecuentemente como definición de conjunto de Julia.

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