Ecuación de la desdoblada

La ecuación de la recta tangente a una circunferencia en uno de sus puntos recibe el nombre de '"ecuación de la desdoblada'". Tal nombre obedece a que si se parte la circunferencia por cualquier otro punto y se endereza o desdobla la línea curva hasta hacerla recta, resultará la recta tangente antes mencionada.

En matemáticas, la ecuación de la desdoblada es la ecuación de la recta tangente a una circunferencia que pasa por uno de los puntos de dicha circunferencia.

Ecuación de la desdoblada de una circunferenciaEditar

Sea una circunferencia C de centro   y radio   de ecuación:

 

que también puede expresarse en la forma

 

donde  .

Sea   un punto perteneciente a dicha circunferencia.

La ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por dicho punto será perpendicular al radio que pasa por P, y se puede demostrar que su ecuación es:[1]

 
Demostración
La ecuación de la recta tangente por   será

 

El problema se reduce a encontrar la pendiente m tal que la recta resultante sea perpendicular al radio que pasa por P. Una vez obtenida la pendiente   de la recta  , la pendiente buscada será  .

Las coordenadas del centro O de la circunferencia son  . Por tanto

 , y  

luego

 

reordenando términos:

 

(1) 

dado que el punto P pertenece a la circunferencia, satisface su ecuación, luego  

sustituyendo en (1)

(2) 

EjemploEditar

La circunferencia   pasa por el punto P = (4, 3). La ecuación de la recta tangente a dicha circunferencia que pasa por el punto dado P es:

 
 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Laura Szwarcfiter Svarcas, Natalia Curbelo, Carlos Buela, Sergio Olivera Abadi. «1.6. Posiciones relativas entre recta y circunferencia» (pdf). Apuntes de Matemática 5º -Núcleo común. Uruguay: Editorial Contexto. 

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