Punto (geometría)

El punto en la geometría es uno de los entes fundamentales de la geometría, junto con la recta y el plano, pues son considerados conceptos primarios, es decir, que solo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. El punto carece de largo, espesor o grosor.​ Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. El punto es la unidad más simple, irreductiblemente mínima, de la comunicación visual;​ es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el plano, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.

Historia

El concepto de punto como ente geométrico surge en la antigua concepción griega de la geometría compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica, se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones» y solo era necesario asumir la noción de punto.

Representación gráfica

Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesiano mediante sus pares de coordenadas.

En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. Con relación a otras figuras, suele representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.

A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).

La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.

Determinación geométrica

Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:

En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).

En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).

En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ).

En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (u, φ, z).

También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.

Dimensión de un punto

Hay varias definiciones no equivalentes de dimensión en matemáticas. En todas las definiciones comunes, un punto es de dimensión 0.

Dimensión del espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño máximo de un subconjunto linealmente independiente. En un espacio vectorial que consiste en un solo punto (que debe ser el vector cero 0), no hay ningún subconjunto linealmente independiente. El vector cero no es en sí mismo linealmente independiente, porque hay una combinación lineal no trivial que lo hace cero: $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$.

Dimensión topológica

La dimensión topológica de un espacio topológico $X$ se define como el valor mínimo de n, tal que toda cobertura abierta finita ${\mathcal {A}}$ de $X$ admite una cubierta abierta finita ${\mathcal {B}}$ de $X$ que refina ${\mathcal {A}}$ en la que ningún punto esté incluido en más de n+1 elementos. Si no existe tal mínimo n, se dice que el espacio es de dimensión de cobertura infinita.

Un punto es cero dimensional con respecto a la dimensión que lo cubre porque cada cobertura abierta del espacio posee un refinamiento consistente en un conjunto abierto.

Dimensión de Hausdorff

Sea X un espacio métrico. Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞), el contenido de Hausdorff-dimensional d de S es el infimum del conjunto de números δ ≥ 0 tal que hay alguna colección (indexada) de bolas $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ cubriendo S con r_i > 0 para cada i ∈ I que satisface $\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta$

La dimensión de Hausdorff de X está definida por

$\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.$

Un punto tiene dimensión de Hausdorff 0 porque puede ser cubierto por una sola bola de radio arbitrariamente pequeño.

Puntos, rectas y planos: posiciones relativas

Dados tres o más puntos en el plano o en el espacio (según corresponda), se pueden dividir en conjuntos que cumplan o no con las siguientes condiciones. Colineales: los denominados colineales son aquellos contenidos en una recta. Coplanarios: se denominan puntos coplanarios aquellos que están contenidos en un mismo plano.

Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto

Postulados en geometría euclidiana

• Por un punto pasan infinitas rectas y planos.
• Dos puntos determinan una recta y solo una.
• Una recta contiene infinitos puntos.
• Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
• El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.

Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones.

Teoremas en geometría euclidiana

• Tres puntos no alineados determinan un plano y solo uno.

Véase también

• Punto medio
• Punto del infinito
• Punto fijo
• Vértice (geometría)
• Recta
• Plano
• Figura geométrica
• Postulados característicos

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre punto.
• Weisstein, Eric W. «Point». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Point-free geometry, en planetmath.org

• Datos: Q44946
• Multimedia: Points (mathematics) / Q44946