Espacio cociente (álgebra lineal)

En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F.

DefiniciónEditar

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea F un subespacio vectorial de E, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre los elementos de E:

Dados   diremos que están relacionados módulo   si  .

La relación anterior es una relación de equivalencia
Se considera la relación   y se comprueban:
Propiedad reflexiva:
Dado un elemento   se tiene que  
Propiedad de simetría:
Dados dos elementos   se tiene que si   entonces   es decir  
Propiedad transitiva:
Dados tres elementos   se tiene que si   y   entonces   es decir  

Observación:  equivale a  , es decir,   y abusando del lenguaje  

Se nota por     a la clase de   módulo  .

Llamaremos espacio cociente al conjunto de todos los elementos que cumplen las clases de equivalencia anterior:

Se nota por   a dicho espacio cociente.

El espacio   es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

 
La suma y multiplicación están definidas por ser   un subespacio vectorial:
     
  • Propiedad conmutativa:
 
  • Propiedad asociativa:
 
  • Existencia del elemento neutro:
 
  • Existencia del elemento opuesto:
 
     
  • Propiedad asociativa:
   
  • Propiedad del elemento neutro de K:
 
  • Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
     
  • Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
   

Observaciones

Si       por constituir   una partición de  
Si    
Si  ,        
Los elementos de   no son un espacio vectorial en   pues no tiene el elemento neutro  


Dimensión del espacio cocienteEditar

Dado   un espacio vectorial y   un subespacio, si la dimensión de E es finita entonces:

  •   es de dimensión finita
  •  .
Sean  ,   y   una base de   Se puede completar la base hasta obtener una de  ,  .
 .

Tomando clases,  , pues   (ya que  ). Luego, se tiene que   generan  

Para ver que son linealmente independientes, supóngase que:

 ,

entonces,   pertenece a  , en consecuencia, existen   tales que  .

Por la independencia lineal de  , se sigue que  .

Por lo tanto,   son una base de   y  

EjemploEditar

Sea   un subespacio vectorial de   generado por un vector  ,  , si se considera el espacio cociente   la clase de un vector   será:

 , siendo su espacio cociente  , es decir todas las rectas paralelas al subespacio F.
 
F y 2 clases [u], [u'] del espacio cociente  .

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

BibliografíaEditar

  • Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.