Abrir menú principal

Definición de subespacio vectorialEditar

Sea   un espacio vectorial sobre   y   no vacío,   es un subespacio vectorial de   si:

 
 

ConsecuenciasEditar

  • Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.
Demostración
i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa.

ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.

Luego para el elemento neutro de la suma éste se puede obtener como  , que   y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido como  , ya que  

Notaciones

Dado   un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje  , e incluso   es correcto.

Demostración
Se quiere ver que  :
 
 

Para ii) el abuso de lenguaje  , e incluso   es correcto.

Demostración
 

Criterio de verificaciónEditar

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector   es también un elemento de U.

EjemplosEditar

Dado el espacio vectorial  , sus elementos son del tipo  .

El subconjunto

 .

es un subespacio vectorial.

Demostración
Por definición de U los elementos son de la forma  .


 


 


como las operaciones están bien definidas entonces que U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de  .

El subconjunto

 

no es un subespacio vectorial.

Demostración
Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la cerradura de ambas operaciones.

El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0².

Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados:

  • Los vectores (1, 1) y (2, 4) son elementos de C, pero su suma (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, puesto que 5 no es igual a 3².
  • El vector (2, 4) es un elemento de C, pero al multiplicarlo por el escalar 2 se obtiene (4, 8) que no es un elemento de C puesto que 8 no es igual a 4².

Operaciones con subespaciosEditar

Sea   un espacio vectorial;   y   subespacios vectoriales de  , se definen las siguientes operaciones:

UniónEditar

 
En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

IntersecciónEditar

 
La intersección de dos subespacios es un subespacio.

SumaEditar

 
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directaEditar

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".[1]
Es decir que si  
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementariosEditar

Se dice que los subespacios   y  son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial  :

 

Dimensiones de subespaciosEditar

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios   y   será igual a la dimensión del subespacio   más la dimensión del subespacio   menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:

 

Por ejemplo, siendo   y   y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego,  .

En la suma directaEditar

En el caso particular de la suma directa, como  .
La fórmula de Grassmann resulta:

 

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría  .

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. "Álgebra II" Armando O. Rojo. Editorial "El Ateneo". Buenos Aires.