Usuario:Madhing/Descomposición de Jordan-Chevalley
En matemáticas, la descomposición de Jordan-Chevalley, llamada así por los matemáticos Camille Jordan y Claude Chevalley, es una expresión de un operador lineal como la suma de su parte semisimple y de su parte nilpotente, que conmutan. También hay una descomposición multiplicativa relacionada, que expresa un operador invertible como el producto de sus partes semisimple y unipotente, que también conmutan. La descomposición es fácil de describir cuando se tiene la forma canónica de Jordan del operador, pero existe bajo hipótesis más débiles que la existencia de una forma canónica de Jordan. Hay descomposiciones análogas a la de Jordan-Chevalley para elementos de grupos algebraicos lineales, álgebras de Lie y grupos de Lie, y la descomposición es una herramienta importante en el estudio de dichos objetos.
Descomposición de un operador lineal
editarSe consideran los operadores lineales en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo. Un operador T se dice semisimple si cada subespacio invariante por T tiene un complementario invariante por T (si el cuerpo subyacente es algebraicamente cerrado, esto equivale a requerir que el operador sea diagonalizable). Un operador se dice nilpotente si alguna potencia de él es el operador cero, y se dice unipotente si es nilpotente.
Sea pues cualquier operador. Una descomposición de Jordan-Chevalley de es una expresión del operador como una suma
donde es semisimple, es nilpotente y y conmutan. Sobre un cuerpo perfecto,[nota 1] siempre existe tal descomposición y es única (véase #Prueba de unicidad y existencia ), y y son polinomios en sin términos constantes.[1][2] En particular, para cualquier descomposición de este tipo sobre un cuerpo perfecto, un operador que conmuta con también conmuta con y .
De manera similar, si es un operador invertible, entonces una descomposición multiplicativa de Jordan-Chevalley expresa como un producto
donde es semisimple, es unipotente y y conmutan. De nuevo, sobre un cuerpo perfecto, tal descomposición existe y es única y tanto como son polinomios en . La versión multiplicativa de la descomposición se obtiene de la aditiva ya que, como es fácil ver que es invertible:
y es unipotente. (Recíprocamente, con un argumento parecido, uno puede deducir la versión aditiva de la multiplicativa).
Si está escrito en forma canónica de Jordan (con respecto a alguna base), entonces es el endomorfismo cuya matriz consiste solo de los términos diagonales de , y es el endomorfismo cuya matriz consiste solo de los términos de fuera de la diagonal; es el endomorfismo cuya matriz se obtiene de la forma canónica de Jordan dividiendo todas las entradas de cada bloque de Jordan por su elemento diagonal.
Prueba de unicidad y existencia.
editarDemostración de unicidad |
La unicidad se deriva del hecho de que son polinomios en : si
es otra descomposición tal que y conmutan, entonces , y tanto como conmutan con , luego también con y con . La suma de dos endomorfismos nilpotentes que conmutan es nilpotente, y sobre un cuerpo perfecto la suma de dos endomorfismos semisimples que conmutan vuelve a ser semisimple. Dado que el único operador que es a la vez semisimple y nilpotente es el operador cero, se sigue que y . |
Demostración de existencia |
Demostración de existencia. Sea
un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo perfecto y sea un endomorfismo.
El hecho de que son polinomios en se deriva del teorema chino del resto. Llamemos al polinomio característico de x. coincide con el producto de los polinomios característicos de las restricciones ; es decir, Además, (porque, en general, una matriz nilpotente muere cuando se eleva al tamaño de la matriz). Aplicando el teorema chino del resto al anillo de polinomios obtenemos un polinomio que satisface las condiciones: (para todo i).[nota 3] La condición significa que para algún polinomio . Ya que es el operador nulo en , y x_s coinciden en cada ; es decir, . Entonces, con . La condición asegura que y no tienen términos constantes. Esto completa la demostración en el caso de un cuerpo algebraicamente cerrado.
Ahora bien, es un polinomio en x, al igual que . Por lo tanto, y conmutan. Asimismo, la aplicación evidentemente conserva la semisimplicidad y la nilpotencia. De este modo, por unicidad de la descomposición (sobre ), y . Por eso son -invariantes; es decir, son endomorfismos (representados por matrices) sobre k. Finalmente, ya que contiene una -base que genera el espacio que contiene a , por el mismo argumento, también vemos que tienen coeficientes en k . Esto completa la demostración. |
Prueba corta usando álgebra abstracta
editar(Jacobson , 1979) demuestra la existencia de la descomposición como consecuencia del teorema principal de Wedderburn. Obtiene así una demostración más corta, y que muestra más claramente el rol que juega la perfección del cuerpo base.
Demostración | |
Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo perfecto , un endomorfismo y la subálgebra generada por . Obsérvese que es un anillo artiniano conmutativo. El teorema principal de Wedderburn establece:
En nuestro caso, es separable ya que el cuerpo base es perfecto (por lo que el teorema es aplicable) y es también el nilradical de . Así, tenemos la descomposición en el espacio vectorial . En particular, el endomorfismo se puede escribir como donde está en B y en . Ahora bien, la imagen de genera ; por lo tanto es semisimple y es un polinomio en x. Por último, es nilpotente ya que es nilpotente y es un polinomio en ya que es. |
Criterio de nilpotencia
editarLa descomposición de Jordan se puede utilizar para caracterizar la nilpotencia de un endomorfismo. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, el anillo de endomorfismos de k sobre los racionales y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . Dado un endomorfismo , sea su descomposición de Jordan. Entonces es diagonalizable; es decir, donde cada es el espacio propio para el valor propio con multiplicidad . Entonces para cualquier definimos como el endomorfismo tal que es el producto por . Chevalley llama a la réplica de dada por . Por ejemplo, si , el conjugado de un endomorfismo es un ejemplo de réplica. Se tiene:
|
Notas
editar- ↑ De hecho, la demostración funciona si es un álgebra separable; ver #Prueba corta usando álgebra abstracta.
- ↑ Escogiendo una base cuidadosamente en cada , se puede poner en forma canónica de Jordan. Entonces, serían respectivamente las partes diagonal y de fuera de la diagonal de la forma canónica. Pero aquí esto no es necesario.
- ↑ Hay una redundancia en las condiciones si alguna es cero pero eso no es un problema; simplemente se puede eliminar de las condiciones.
Referencias
editar- ↑ Humphreys, 1972, Prop. 4.2, p. 17 for the algebraically closed field case.
- ↑ Waterhouse,, Ch. 9, Exercise 1.
- ↑ Ring Theory. 18 April 1972. ISBN 9780080873572.
- ↑ Serre,, LA 5.17. Lemma 6.7.
Bibliografía
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|orig-year=
ignorado (ayuda). - Lazard, M. (1954), «Théorie des répliques. Critère de Cartan (Exposé No. 6)», Séminaire "Sophus Lie" 1, archivado desde el original el 4 de julio de 2013 Parámetro desconocido
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