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Diferencia entre revisiones de «Teorema fundamental de la geometría de Riemann»

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Añadida la demostración del teorema sin usar coordenadas locales
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== Demostración ==▼
En [[geometría de Riemann]], el '''teorema fundamental de la geometría de Riemann''' establece que dado una [[variedad de Riemann]] (o una [[variedad seudoriemanniana]]) hay una única [[conexión (matemática)|conexión]] libre de torsión que preserva el [[tensor métrico]]. Tal conexión se llama [[conexión de Levi-Civita]].
 
=== Coordenadas locales ===
Más exactamente:
<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted black;">
Sea <math>(M,g)</math> una [[variedad de Riemann]] (o [[variedad pseudoriemanniana]]) entonces hay una conexión única <math>\nabla</math> que satisface las condiciones siguientes:
 
# para cualesquiera campos vectoriales <math>X,Y,Z</math> tenemos <math>Xg(Y,Z)=g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z)</math>, donde <math>Xg(Y,Z)</math> denota la derivada de la función <math>g(Y,Z)</math> a lo largo del campo vectorial <math>X</math>.
# para cualesquiera campos vectoriales <math>X,Y</math> tenemos <math> \nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]</math>, donde <math>[X,Y]</math> denota el [[álgebra de Lie|corchete de Lie]] para los [[campo vectorial|campos vectoriales]] <math>X,Y</math>.
</blockquote>
 
La prueba técnica siguiente presenta una fórmula para los [[símbolos de Christoffel]] de la conexión en un conjunto coordenado local. Para una métrica dada este conjunto de ecuaciones puede llegar a ser algo complicado. Hay métodos más rápidos y más simples de obtener los símbolos de Christoffel para una métrica dada, e.g. con la integral de [[Acción (matemáticas)|acción]] y las ecuaciones asociadas de Euler-Lagrange.
 
▲== Demostración ==
 
En esta prueba utilizamos la [[notación de Einstein]].
Línea 58 ⟶ 48:
 
Es decir los símbolos de Christoffel (y por lo tanto la derivada covariante) son determinados totalmente por la métrica, con las ecuaciones que implican la derivada de la métrica.
 
=== Formulación invariante ===
 
También se puede demostrar el resultado sin emplear coordenadas locales, a partir de las propiedades que determinan la [[conexión de Levi-Civita]].{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=p.55|2a1=Hawking|2a2=Ellis|2y=1973|2loc=p.40|3a1=Helgason|3y=2001|3loc=p.48|4a1=Jost|4y=2017|4loc=p.194|5a1=Kobayashi|5a2=Nomizu|5y=1963|5loc=p.160|6a1=O'Neill|6y=1983|6loc=p.61}} Supongamos que <math> \nabla </math> es una conexión tal que
<math display=block>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y],</math>
y
<math display=block>X\left(g(Y,Z)\right)=g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ),</math>
donde <math>X</math>, <math>Y</math> y <math>Z</math> son campos vectoriales cualesquiera. El cálculo antes hecho en coordenadas ahora se escribe
<math display="block">\begin{align}X\left(g(Y,Z)\right)&+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)\\
&=\Big(g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ)\Big)+\Big(g(\nabla_YX,Z)+g(X,\nabla_YZ)\Big)-\Big(g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)\Big)\\ &=g(\nabla_XY+\nabla_YX,Z)+g(\nabla_XZ-\nabla_ZX,Y)+g(\nabla_YZ-\nabla_ZY,X)\\
&=g(2\nabla_XY+[Y,X],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X).\end{align}</math>
 
Esto se reduce inmediatamente a la identidad obtenida para los símbolos de Christoffel si tomamos como <math>X</math>, <math>Y</math> y <math>Z</math> los campos vectoriales asociados localmente a las coordenadas. La ecuación anterior puede ser reordenada para obtener la ''fórmula (o identidad) de Koszul''
<math display="block">2g(\nabla_XY,Z)=X\left(g(Y,Z)\right)+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)-g([Y,X],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).</math>
Esto demuestra que, si existe una conexión con estas propiedades, entonces es única, pues si <math>g(W,Z)</math> es igual a <math>g(U,Z)</math> para cualquier <math>Z</math>, entonces <math>U</math> es igual a <math>W</math>, como consecuencia de que la métrica es no degenerada. En la formulación local de arriba, esta propiedad clave de la métrica se usó cuando tomamos el inverso de la matriz que define la métrica. Además, por el mismo razonamiento, la fórmula de Koszul se puede utilizar para definir un campo vectorial <math>\nabla_X Y</math> para <math>X</math> e <math>Y</math> dados, y es rutinario comprobar que <math>\nabla</math> así definida es una conexión que verifica las dos propiedades enunciadas.{{sfnm|1a1=Jost|1y=2017|1loc=p.194|2a1=O'Neill|2y=1983|2loc=p.61}}
 
{{Control de autoridades}}
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