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Diferencia entre revisiones de «Matriz y determinante jacobianos»

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En [[cálculo vectorial]], la '''matriz Jacobiana''' de una función vectorial de varias variables es la [[Matriz (matemáticas)|matriz]] cuyos elementos son las [[Derivada parcial|derivadas parciales]] de primer orden de dicha función.
 
SeaSuponga que <math> f\mathbf{F}:\R^n \longrightarrowto \R^m</math> es una función cuyastal que sus derivadas parciales de primer orden existen en todo <math> \mathbb{R}^n</math>. yEsta denotemosfunción toma un punto <math> f_1,f_2,...,f_m\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n</math> ay susdevuelve componentesun escalares.vector Se<math> define\mathbf{F}(\mathbf{x})\in\mathbb{R}^m</math>. laLa matriz jacobianaJacobiana de <math> f\mathbf{F}</math>, endenotada un puntopor <math> x\in\mathbbmathbf{RJ}^n</math>, está definida como: una matriz de tamaño <math> m\times n</math> cuya <math> (i,j)</math>-ésima entrada es
:<math> \mathbf{J}_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}</math>
:<math>\text{J}f(x)=▼
 
\begin{pmatrix}▼
o de forma explícita
\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x) & \dots & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x) \\▼
 
\displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x) & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x) & \dots & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x) \\
▲:<math>\textmathbf{J}f(x)=
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\▼
▲\begin{pmatrixbmatrix}
\displaystyle\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x) & \displaystyle\frac{\partial f_m}{\partial x_2}(x) & \dots & \displaystyle\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x) \\▼
\cfrac{\partial\mathbf{F}}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial\mathbf{F}}{\partial x_n}
\end{pmatrixbmatrix}
=
\begin{pmatrixbmatrix}
\nabla f_1(x)^Tf_1 \\
\vdots \\
\nabla f_m(x)^Tf_m
\end{pmatrixbmatrix} </math>
=
donde <math>\nabla f_i </math> es el [[gradiente]] de la <math>i </math>-ésima componente escalar.▼
\begin{bmatrix}
▲\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) & \displaystyle\fraccfrac{\partial f_1}{\partial x_2x_1}(x) & \dotscdots & \displaystyle\fraccfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(x) \\
▲\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
▲\displaystyle\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x) & \displaystyle\fraccfrac{\partial f_m}{\partial x_2x_1}(x) & \dotscdots & \displaystyle\fraccfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(x) \\
\end{bmatrix} </math>
▲donde <math>\nabla f_i^Tf_i </math> es ella traspuesta del [[gradiente]] de la <math>i </math>-ésima componente escalar.
 
Esta matriz, cuyas entradas son funciones de <math>\mathbf{x}</math>, es denotada de diversas maneras, algunas de ellas son:
 
:<math>\mathbf{J}_\mathbf{F},\qquad\mbox{o}\qquad
\frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)},
\qquad \mbox{o} \qquad D\mathbf{F},
\qquad \mbox{o} \qquad \nabla\boldsymbol\mathbf{F}</math>
* Cuando <math>m=n</math>, la matriz Jacobiana es [[Matriz cuadrada|cuadrada]]. Supor lo que su [[Determinante (matemática)|determinante]] es una función de <math>\mathbf{x}</math>, este determinante es conocido como el '''determinante Jacobiano''' de <math> f\mathbf{F}</math>. El determinante Jacobiano aparece cuando se hace un cambio de variables en [[Integral múltiple|integrales múltiples]].▼
 
* Cuando <math>m=1</math>, esto es, cuando <math> f:\mathbb{R}^n\longrightarrowto\mathbb{R}</math> es ununa campofunción escalar de <math> n</math> variables, entonces la matriz Jacobiana se reduce a un [[vector fila]]. Este vector fila con todas las derivadas parciales de primer orden de <math>f</math> es ella traspuesta del [[gradiente]] de <math>f</math>, es decir, <math>\textmathbf{J}f(x)_f=\nabla^Tf</math>. Y cuando <math>m=n=1</math>, esto es, cuando <math> f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. es una función escalar de una variable entonces la matriz Jacobiana sólo tiene una entrada, esta entrada es la [[derivada]] de la función <math> f</math>.▼
▲* Cuando <math>m=n</math>, la matriz Jacobiana es [[Matriz cuadrada|cuadrada]]. Su [[Determinante (matemática)|determinante]] es conocido como el '''determinante Jacobiano''' de <math> f</math>.
▲* Cuando <math>m=1</math>, esto es, cuando <math> f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}</math> es un campo escalar, la matriz Jacobiana se reduce a un [[vector fila]]. Este vector fila con todas las derivadas parciales de primer orden es el [[gradiente]] de <math>f</math>, es decir, <math>\text{J}f(x)=\nabla f(x)</math>.
* Cuando <math>m=n=1</math>, esto es, cuando <math> f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}</math> es una función una variable, la matriz Jacobiana sólo tiene una entrada: la [[derivada]] de la función <math> f</math> en el punto.
 
En [[geometría algebraica]], el '''jacobiano''' de una [[curva]] hace referencia a la [[variedad jacobiana]], un grupo y [[variedad algebraica]] asociada a la curva, donde la curva puede ser [[Encaje (matemática)|embebida]].
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