Diferencia entre revisiones de «Conjetura de Hodge»

:<math>\cup : H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).</math>

Dado que ''X'' es una variedad compleja, ''X'' tiene una [[clase fundamental]].

 

Sea ''Z'' una subvariedad compleja de ''X'' de dimensión ''k'', y sea ''i'' : ''Z'' → ''X'' la función de inclusión. Elíjase una forma diferenciada <math>\alpha</math> del tipo (''p'', ''q''). Podemos integrar <math>\alpha</math> sobre ''Z'':

De forma más abstracta, la integral puede ser escrita como el [[cap product]] del grupo de cohomología de ''Z'' y del grupo de cohomología representado por <math>\alpha</math>. Según la dualidad de Poincaré, el grupo de homología de ''Z'' es doble del grupo de cohomología que llamaremos [''Z''], y el cap product puede ser calculado tomando el cup product de [''Z''] y <math>\alpha</math> y capping con la clase fundamental de ''X''. Dado que [''Z''] es un grupo de cohomología, tiene descomposición de Hodge. Según el cálculo anterior, si nosotros cup este grupo con otro tipo de grupo (''p'', ''q'') ≠ (''k'', ''k''), entonces tendremos cero. Dado que <math>H^{2n}(X, \mathbf{C}) = H^{n,n}(X)</math>, se concluye que [''Z''] debe quedar en <math>H^{n-k,n-k}(X, \mathbf{C})</math>. En pocas palabras, la conjetura de Hodge dice:

:''¿Qué grupos de cohomología en <math>H^{k,k}(X)</math> derivan de subvariedades complejas ''Z''?''

 

==Referencias==