Diferencia entre revisiones de «Serie de Taylor»
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Línea 94:
y convergen para <math>|x|<1 </math>.
Generalizando podemos expresar el logaritmo natural con la siguiente serie:
: <math>\ln \left(a\pm bx\right)=\ln \left(a\right)\pm \sum _{n=1\ }^{\ \infty }\frac{-\left(\left(\mp 1\right)^{n+1}\right)b^n}{a^n\cdot n}x^n </math>
y convergen para <math>\left|x\right|<\frac{a}{b} </math>
Cuando <math>a = 0 </math> el logaritmo natural se expresa de la siguiente forma:
: <math>\ln(x) = 2\sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1} </math>
Generalizando llegamos a la siguiente serie:
<math> \ln \left(ax\right)\ =2\sum _{n=0}^k\frac{1}{2n+1}\left(\frac{ax-1}{ax+1}\right)^{2n+1} </math>
=== Serie geométrica ===
Línea 103 ⟶ 117:
\end{align}</math>
y todas convergen para <math>|x|<1 </math>.
Generalizando podemos llegar a esta serie:
<math>\frac{a}{\left(b\pm cx\right)^m}=\pm \sum _{n=0}^{\infty }-\left(\left(\mp 1\right)^n\right)\frac{a\left(n+m-1\right)!c^n}{n!\left(m-1\right)!b^{m+n}}x^n</math>
que converge para <math>\left|x\right|<\frac{b}{c}</math>.
=== Serie binomial ===
Línea 117 ⟶ 137:
|x|<1</math> para cualquier <math>\alpha\in\mathbb{R}</math>.
::
::Cuando <math>\alpha=-1</math>, obtenemos la [[serie geométrica]] mencionada anteriormente.
:Si generalizamos llegamos a la siguiente fórmula:
:<math>\left(a+bx\right)^c=\sum _{n=0}^c\frac{c!}{n!\left(c-n\right)!}a^{c-n}b^nx^n</math>
:que converge para <math>\left|x\right|<1</math> para cualquier <math>c</math> perteneciente a los reales.
=== [[Funciones trigonométricas]] ===
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