Diferencia entre revisiones de «Determinante (matemática)»
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El cuadro matricial es introducido por los trabajos de [[Arthur Cayley|Cayley]] y [[James Joseph Sylvester]]. Cayley es también el inventor de la notación de los determinantes mediante barras verticales y establece la fórmula para el cálculo de la inversa.
La teoría se ve reforzada por el estudio de determinantes que tienen propiedades de simetría particulares y por la introducción del determinante en nuevos campos de las matemáticas, como el [[wronskiano]] en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales.
== Métodos de cálculo ==
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=== Matrices de orden inferior ===
El caso de matrices de orden inferior (orden 2 o 3) es tan sencillo que se su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace
Los determinantes de una matriz de orden 2 se calculan con la siguiente fórmula:
<math> \det(A) = a_{11} \times a_{22} - a_{12} \times a_{21} </math>
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[[Archivo:determinante 3 por Sarrus.png]]
=== Determinantes de orden superior a 3 ===
=== se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el tarru para calcular el determinante de una matriz de orden 14.▼
{{AP|Teorema de Laplace}}
El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su [[Matriz de adjuntos|adjunto]] (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)<sup>i+j</sup> donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual al determinante.
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La cantidad de operaciones aumenta muy rápidamente. En el peor de los casos (sin obtener ceros en filas y columnas), para un determinante de orden 4 se deberán desarrollar 4 determinates de orden 3. En un determinante de orden 5, se obtienen 5 determinates de orden 4 a desarrollar, dándonos 20 determinates de orden 3. El número de determinates de orden 3 que se obtienen en el desarrollo de un determinante de orden n es igual a <math>(n!) \over (3!)</math>
Por ejemplo, mediante este método, para un determinante de orden 10 se deberán calcular 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 604.800 determinantes de orden 3.
También puede utilizarse el Método de eliminación Gaussiana, para convertir la matriz en una matriz triangular. Si bien el proceso puede parecer tedioso, estará muy lejos de los 14.529.715.200 de determinantes de orden 3 necesarios para calcular el determinante de una matriz de orden 14.
=== Métodos numéricos ===
Para reducir el coste computacional de los determinantes a la vez que mejorar su estabilidad frente a errores de redondeo, se aplica la [[regla de Chio]], que permite utilizar métodos de triangularización de la matriz utilizando matrices ortonormales, como es el caso del método de Gauss o con el uso de [[Transformación de Householder|reflexiones de Householder]] o [[Transformación de Givens|rotaciones de Givens]]. Con ello se reduce el cálculo del determinante al producto de los elementos de la diagonal de la matriz.
La precisión limitada del cálculo numérico produce incertidumbre en ocasiones en los resultados de este método. Un valor muy pequeño podría ser el resultado de una matriz de rango deficiente, aunque no lo es necesariamente. Por otra parte, para matrices casi singulares el resultado no siempre es preciso. Es necesario comprobar el [[Rango de una matriz|rango]] de la matriz con otros métodos o calcular el [[número de condición]] de la matriz para determinar la fiabilidad del resultado.
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