Diferencia entre revisiones de «Péndulo»
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Existen muy variados tipos de péndulos que, atendiendo a su configuración y usos, reciben los nombres apropiados:
[[péndulo simple]], [[péndulo compuesto]], [[péndulo cicloidal]], [[doble péndulo]], [[péndulo de Foucault]], [[péndulo de Newton]], [[péndulo balístico]], [[péndulo de torsión]], [[péndulo esférico]], etcétera.
Péndulo simple equivalente.
Sus usos son muy variados: Mediada del tiempo ([[reloj de péndulo]], [[metrónomo]],...), medida de la intensidad de la gravedad,...
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:<math>\mbox{sn}(t)\;</math>, es la [[función elíptica de Jacobi]] tipo seno.
:<math>\sin\Phi = \frac{\sin\frac{\phi(t)}{2}}{\sin\frac{\phi_0}{2}}</math>
El lagrangiano del sistema es <math>\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 - mgl\cos{\theta}</math>, donde <math>\theta</math> es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y <math>l</math> es la longitud de la cuerda (es la ligadura).
Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: <math>l^2\ddot{\theta} + gl\sin{\theta} = 0</math>. Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo.
== Péndulo esférico ==
{{AP|Péndulo esférico}}
[[Archivo:Foucault pendulum animated.gif|thumb|[[#Péndulo esférico|Péndulo esférico]] animado]]
Un péndulo esférico es un sistema con dos grados de libertad. El movimiento está confinado a la una porción de superficie esférica (de radio ''l'') comprendida entre dos paralelos. Existen dos [[integral de movimiento|integrales de movimiento]], la energía ''E'' y la componente del [[momento angular]] paralela al eje vertical ''M<sub>z</sub>''. La [[lagrangiano|función lagrangiana]] viene dada por:
{{ecuación|<math>L = \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta}^2+ \dot{\phi}^2\sin^2\theta)+mgl\cos\theta</math>||left}}
Donde <math>\phi</math> es el ángulo polar y <math>\theta</math> es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las [[ecuaciones de Euler-Lagrange]] son:
{{ecuación|<math>\begin{matrix}
\cfrac{d}{dt}\cfrac{\part L}{\part\dot\theta} - \cfrac{\part L}{\part\theta}=0 & \Rightarrow &
l\ddot\theta - l\dot{\phi}^2\sin\theta\cos\theta + g \sin\theta = 0\\ \\
\cfrac{d}{dt}\cfrac{\part L}{\part\dot\phi} - \cfrac{\part L}{\part\phi}=0 & \Rightarrow
& \cfrac{d}{dt}(ml^2\dot{\phi}\sin^2\theta) = 0 \end{matrix}</math>||left}}
La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y por tanto lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular y por tanto a reescribir la lagrangiana como:
{{ecuación|<math>\dot\phi = \frac{M_z}{ml^2\sin^2\theta} \Rightarrow \qquad
L = K(\dot\theta)+ U_{ef}(\theta) = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 +
\frac{M_z^2}{2ml^2\sin^2\theta}-mgl\cos\theta</math>||left}}
Y el problema queda reducido a un problema unidimensional.
=== Período ===
El movimiento de un péndulo esférico en general no resulta periódico, ya que es la combinación de dos [[movimiento periódico|movimientos periódicos]] de períodos generalmente incomensurables. Sin embargo el movimiento resulta [[movimiento cuasiperiódico|cuasiperiódico]], lo cual significa que fijado una posición y una velocidad previas del movimiento existe un tiempo ''T'' tal que el movimiento pasará a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición con una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dada que la región de movimiento además resulta compacta, el conjunto de puntos la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos [[casquete esférico|casquetes esféricos]].
=== Solución de la ecuación de movimiento ===
Las ecuaciones de movimiento pueden expresarse en términos de integrales elípticas de [[integral elíptica de primera especie|primera especie]] y [[integral elíptica de tercera especie|tercera especie]]:
{{ecuación|<math>t = \sqrt\frac{ml^2}{2} \int \frac{d\theta}{\sqrt{E-U_{ef}(\theta)}} \qquad
\phi = \frac{M_z}{l\sqrt{2m}} \int \frac{d\theta}{\sin^2\theta\sqrt{E-U_{ef}(\theta)}}</math>||left}}
== Véase también ==
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