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Línea 13: Esto implica que en principio, sólo es necesario tomar uno de los dos símbolos como primitivo, ya que el otro puede ser definido a partir de éste y del vocabulario de la lógica proposicional. En general, el símbolo que se toma como primitivo es el de necesidad. Estas interdefiniciones son paralelas a las de los [[cuantificador]]es en la [[lógica de primer orden]]: :<math>\exists x \ A\phi(x) = \neg \forall x \ \neg A\phi(x)</math> :<math>\forall x \ A\phi(x) = \neg \exists x \ \neg A\phi(x)</math> Las razones de este pararelismo resultarán más claras en la sección de semántica de mundos posibles. Línea 22: La gramática nos indica qué secuencias de signos del vocabulario están bien construidas. A estas secuencias se las llama [[Fórmula bien formada\|fórmulas bien formadas]]. La gramática de la lógica modal es igual a la de la [[lógica proposicional]], excepto que añade una regla para los operadores modales, la cual ya fue indicada informalmente en la sección anterior: Si A<math>\phi \,</math> es una fórmula bien formada, entonces <math>\Box A\phi</math> también lo es. Algunos ejemplos de fórmulas bien formadas del lenguaje serán, por lo tanto: Línea 34: === Reglas de inferencia === La [[regla de inferencia]] más propia de la lógica modal se llama ~~regla de~~ ''~~Necesitación~~'N''' (~~abreviada~~o regla de ''~~'N'~~Necesitación''), y dice que si una fórmula A<math>\phi \,</math> es un [[teorema]], entonces "es necesario que A<math>\phi \,</math>" también es un teorema. En otros términos: :<math>\frac{\vdash A\phi}{\vdash \Box A\phi}</math> A esta regla hay que sumarle, por supuesto, el [[modus ponens]] heredado de la lógica proposicional. Línea 53: \|- \| K \| <math>\Box (A\phi \to B\psi) \to (\Box A\phi \to \Box B\psi)</math> \| Si es necesario que A<math>\phi \,</math> implica B<math>\psi \,</math>, entonces si A<math>\phi \,</math> es necesario, B<math>\psi \,</math> también lo es. \|- \| T (o M) \| <math>\Box A\phi \to A\phi</math> \| Si es necesario que A<math>\phi \,</math>, entonces A<math>\phi \,</math> es el caso. \|- \| 4 \| <math>\Box A\phi \to \Box \Box A\phi</math> \| Si es necesario que A<math>\phi \,</math>, entonces es necesario que A<math>\phi \,</math> sea necesario. \|- \| 5 \| <math>\Diamond A\phi \to \Box \Diamond A\phi</math> \| Si es posible que A<math>\phi \,</math>, entonces es necesario que A<math>\phi \,</math> sea posible. \|- \| B \| <math>A\phi \to \Box \Diamond A\phi</math> \| Si A<math>\phi \,</math> es el caso, entonces es necesario que A<math>\phi \,</math> sea posible. \|} Línea 108: A los dos primeros elementos de la interpretación se los llama el ''marco'' de la interpretación, y cuando se les suma el tercero se tiene un ''modelo'' para el sistema. Los mundos posibles no juegan ningún papel sustancial en la definición de los operadores lógicos no-modales, salvo que las condiciones de verdad se definen relativamente a mundos posibles. Por ejemplo: <math>V(w,\neg A\phi)=1</math>   si y sólo si   <math>V(w,A\phi)=0 \,</math> <math>V(w,A\phi \~~and~~land B\psi)=1</math>   si y sólo si   <math>V(w,A\phi)=1 \,</math>   y   <math>V(w,B\psi)=1 \,</math> Pero los mundos posibles juegan un papel clave en la definición de las condiciones de verdad de los operadores modales: <math>V(w,\Box A\phi)=1</math>   si y sólo si para todo mundo posible ''w'' tal que ''wRw'' (''w'' tiene acceso a ''w'') se cumple que   <math>V(w^,A\phi)=1 \,</math> <math>V(w,\Diamond A\phi)=1</math>   si y sólo si en al menos un mundo posible ''w'' tal que ''wRw'' se cumple que   <math>V(w^,A\phi)=1 \,</math> Una observación: Si desde un mundo posible ''w'' no se puede acceder a ningún otro mundo posible, entonces todas las fórmulas de la forma <math>\Box A\phi</math> serán verdaderas en ''w'', mientras que todas las de la forma <math>\Diamond A\phi</math> serán falsas. Las condiciones de verdad de <math>\Box A\phi</math> no requieren la existencia de un mundo posible que sea accesible, ya que "todo mundo posible ''w'' tal que ''wRw'' y <math>V(w,A\phi)=0 \,</math> " es equivalente a "no hay ningún mundo posible tal que ''wRw'' y <math>V(w,\neg A\phi)=0</math> ". Es decir, todo lo que se requiere para que <math>\Box A\phi</math> sea verdadero en ''w'' es que no haya ningún mundo accesible desde ''w'' donde A<math>\phi \,</math> sea falso. Por otro lado las condiciones de verdad de <math>\Diamond A\phi</math> requieren la existencia de un mundo posible. Para que <math>\Diamond A\phi</math> sea verdadero en ''w'', debe haber al menos un mundo accesible desde ''w'' en el que A<math>\phi \,</math> sea verdadero. Si desde ''w'' no se accede a ningún mundo posible, entonces <math>\Diamond A\phi</math> será falso en ''w''. == Consecuencia lógica y deducción == Línea 131: Por otro lado, suele entenderse la necesaria preservación de verdad como preservación de verdad en toda interpretación. Por tanto, un argumento es válido en nuestro lenguaje modal cuando preserva la verdad en todos los mundos posibles en toda interpretación: :<math>\Gamma \models A\phi</math> si y sólo si para toda interpretación <''W'', ''R'', ''V''> y todo mundo posible ''w'' en ''W'', si  <math>V(w,B\psi)=1 \,</math>  para todo B<math>\psi \,</math> en <math>\Gamma \,</math>, entonces  <math>V(w,A\phi)=1 \,</math> === Deducción === Un sistema deductivo es un conjunto de reglas que nos permite establecer afirmaciones de consecuencia entre un conjunto de oraciones y una oración atendiendo solamente a su forma. Cuando A<math>\phi \,</math> es una consecuencia deductiva de <math>\Gamma \,</math> en un sistema deductivo S se suele escribir "<math>\Gamma \vdash A\phi</math>  en S". El tipo de sistemas deductivos tradicionales en lógica modal son los sistemas axiomáticos. Un sistema axiomático es un conjunto de enunciados del lenguaje (o ''formas de enunciados'' si contienen metavariables) y un conjunto de reglas de inferencia. Una consecuencia deductiva de un sistema axiomático es, o bien un axioma, o bien un enunciado que puede obtenerse a partir de los axiomas y las reglas de inferencia. El sistema axiomático básico para la lógica modal es el sistema K, descripto más arriba. La relación de deducibilidad en K (es decir, todo aquello que es deducible en K), queda por lo tanto definida por sus axiomas y sus reglas de inferencia. Como comentamos al inicio de esta sección, la deducibilidad en los distintos sistemas modales caracteriza diversas relaciones de consecuencia lógica. El sistema modal K es considerado básico porque la deducción en K caracteriza (es consistente y completo respecto a) la consecuencia lógica en ''todas las interpretaciones (normales)''. Por tanto: :<math>\Gamma \vdash A\phi</math> en K si y sólo si <math>\Gamma \models A\phi</math> para toda interpretación <''W'', ''R'', ''V''>. === Restricciones en la relación de accesibilidad === Línea 145: Recordemos que varios de los sistemas modales se obtienen simplemente añadiendo axiomas a la lista de axiomas del sistema K. Por ejemplo, el sistema T se obtiene añadiendo a K el axioma: :('''T''')  <math>\Box A\phi \to A\phi</math> En cada uno de los sistemas, la relación de consecuencia lógica que caracteriza la deducibilidad en el sistema es distinta. Por ejemplo, en el sistema T, la relación de consecuencia lógica (respecto a la cual T es consistente y completo) es la consecuencia lógica en todas las interpretaciones en las que la relación de accesibilidad es [[Relación reflexiva\|reflexiva]]. Es decir, la clase de todas las interpretaciones <''W'', ''R'', ''V''> en las que ''R'' es reflexiva (todo mundo ''w'' en ''W'' es accesible desde sí mismo: ''wRw''). Por tanto, la adición del axioma T a K da lugar a un sistema que es completo y consistente respecto a todas las interpretaciones en que ''R'' es reflexiva: :<math>\Gamma \vdash A\phi</math>  en T si y sólo si  <math>\Gamma \models A\phi</math>  para toda interpretación <''W'', ''R'', ''V''> en la que ''R'' es reflexiva. Otros sistemas modales se obtienen a través de la adición de axiomas y sus respectivas consecuencias lógicas a través de la adición de restricciones sobre ''R''. Algunos de los axiomas más conocidos con sus respectivas restricciones sobre ''R'' son: Línea 161: \|- \| T (o M) \| <math>\Box A\phi \to A\phi</math> \| [[Relación reflexiva\|Reflexiva]] \| Para todo ''w'' en ''W'', ''wRw''. \|- \| 4 \| <math>\Box A\phi \to \Box \Box A\phi</math> \| [[Relación transitiva\|Transitiva]] \| Para todo ''w'', ''w'' y ''w*'' en ''W'', si ''wRw'' y ''wRw'' entonces ''wRw''. \|- \| 5 \| <math>\Diamond A\phi \to \Box \Diamond A\phi</math> \| Euclideana \| Para todo ''w'', ''w'' y ''w*'' en ''W'', si ''wRw'' y ''wRw*'' entonces ''wRw*''. \|- \| B \| <math>A\phi \to \Box \Diamond A\phi</math> \| [[Relación simétrica\|Simétrica]] \| Para todo ''w'' y ''w'' en ''W'' si ''wRw'' entonces ''wRw''. Línea 183: Atendiendo a los axiomas podemos ver cuál es la relación de consecuencia que caracterizan. Por ejemplo, el sistema S4, que incluye los axiomas T y B, es consistente y completo respecto a las interpretaciones en que ''R'' es reflexiva y transitiva. El sistema S5 respecto a las interpretaciones en que ''R'' es reflexiva y euclídea. El método axiomático tiene ciertas ventajas. Por ejemplo, se puede ver fácilmente cuál es la relación entre sistemas modales. Se dice que un sistema modal M+B es una ''extensión'' de otro sistema modal MA, cuando todas las deducciones que se pueden realizar en MA se pueden realizar en M+B. Se dice que M+B es una ''extensión propia'' de MA cuando M+B es una extensión de MA y MA no es una extensión de M+B (es decir, hay deducciones en M+B que no hay en MA). El método axiomático tiene la ventaja de mostrar de un modo claro algunas relaciones entre sistemas modales. Por ejemplo, es evidente que como el sistema T se obtiene añadiendo un axioma a K, T es una extensión de K. Para ver que T es una extensión propia de K, sólo tenemos que comprobar que el axioma T no es deducible en K. Existen otros métodos a este propósito como los ''tableaux'' o tablas analíticas. El método axiomático tiene la desventaja de que resulta difícil para el no-iniciado establecer afirmaciones de deducción mientras que las tablas analíticas aportan un procedimiento algorítmico con el que resulta muy sencillo construir las pruebas. Por otra parte, las pruebas de completud y consistencia con las tablas analíticas son extremadamente sencillas en comparación con las pruebas que emplean sistemas axiomáticos. El libro de Graham Priest (2001) es una buena introducción a las lógicas modales (entre otras lógicas no clásicas) que emplea las tablas analíticas. Línea 189: === Mundos no-normales === Algunos de los sistemas que Lewis propuso para su [[implicación estricta]] son más débiles que el sistema modal K. Para obtener una semántica para sistemas modales más débiles que K se introdujo la noción de ''mundo no-normal'' (introducido por [[Saul Kripke]] en 1965). Un mundo no-normal es un mundo en el que las condiciones de verdad de los operadores modales son distintas: un enunciado del tipo <math>\Diamond A\phi</math> es siempre verdadero en un mundo no-normal, mientras que un enunciado de la forma <math>\Box A\phi</math> es siempre falso. En los mundos no-normales todo es posible y nada es necesario. Una interpretación no-normal para un lenguaje proposicional modal es una estructura <''W'', ''N'', ''R'', ''V''> donde ''W'', ''R'' y ''V'' son como antes y ''N'' es un subconjunto de ''W''. ''N'' es el conjunto de mundos ''normales'' en la interpretación; el resto (si los hay) son los mundos ''no-normales''. Las condiciones de verdad de los operadores lógicos son igual que antes; sólo varían las condiciones de los operadores modales en mundos no-normales. Si ''w'' es no-normal: <math>V(w,\Diamond A\phi)=1</math> <math>V(w,\Box A\phi)=0</math> A partir de interpretaciones no-normales podemos obtener semánticas para sistemas modales más débiles que K. Podemos definir, por ejemplo, la relación de consecuencia lógica como preservación de verdad sobre ''mundos normales'': Definición: <math>\Gamma \models A\phi</math>  si y sólo para toda interpretación <''W'', ''N'', ''R'', ''V''> y todo mundo posible ''w'' en ''N'', si  <math>V(w,B\psi)=1 \,</math>  para todo B<math>\psi \,</math>  en  <math>\Gamma \,</math>, entonces  <math>V(w,A\phi)=1 \,</math>. La lógica que obtenemos si permitimos que ''R'' sea una relación binaria cualquiera en ''W'' es más débil que K. Llamemos a esta lógica N. El hecho más singular de las interpretaciones no-normales es que la regla de ''Necesitación'', que era correcta en K y todas sus extensiones, deja de ser correcta. Las fórmulas lógicamente válidas de la lógica clásica, por ejemplo <math>p \lor \neg p</math>, son verdaderas en todo mundo posible (normal o no). Por tanto, tenemos que en N, <math>\models p \lor \neg p</math>. Más aún, dado que la consecuencia lógica se define sobre mundos normales, tenemos que <math>\models \Box (p \lor \neg p)</math> ya que <math>p \lor \neg p</math> sera verdadera en todo mundo accesible desde un mundo normal. Sin embargo, <math>\Box \Box (p \lor \neg p)</math> no es verdadera en todo mundo normal, ya que este puede acceder a un mundo no-normal, en donde <math>\Box (p \lor \neg p)</math> será falsa.

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