Diferencia entre revisiones de «Ecuación de segundo grado»
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== Solución general de la ecuación de segundo grado ==
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas [[raíz (matemática)|''raíces'']], que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
:<math>x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math> ,
donde el símbolo "±" indica que los dos valores
:{|
|-
|<math>x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
| style="width:100px" align="center" | y
|<math>\ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
|}
son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.
Si observamos el [[discriminante]] (la expresión dentro de la raíz cuadrada):
{{ecuación|1=<math>b^2 - 4ac \,</math>}}
podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:
# Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);
# Una solución real ''doble'', dicho de otro modo, de ''multiplicidad dos'', si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
# Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).
=== Deducción de la fórmula general===
Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.
Sea dada la ecuación:
<center>
<math> ax^2 + bx + c = 0 \,</math>
</center>
donde <math> a \neq 0 </math> para garantizar que sea ''realmente'' una ecuación polinómica de segundo grado.
Como '''a''' es distinto de cero, podemos dividir entre '''a''' cada término de la ecuación:
<center>
<math> x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 </math>
</center>
Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:
<center>
<math> x^2 + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a} </math>
</center>
Para completar el [[trinomio cuadrado perfecto]] (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por lo que sumamos <math> \left(\frac{b}{2a} \right)^2 </math> en ambos miembros de la ecuación:
<center>
<math> x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a} \right)^2 = \left(\frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a} </math>
</center>
Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:
<center>
<math> \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} </math>
</center>
Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho:
<center>
<math> \left(x + \frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} </math>
</center>
Extraemos raiz cuadrada en ambos miembros:
<center>
<math> x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt { \frac{b^2-4ac}{4a^2} } </math>
</center>
Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:
<center>
<math> x + \frac{b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ \sqrt{(2a)^2} } </math>
</center>
Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:
<center>
<math> x + \frac{b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } </math>
</center>
Despejamos la incógnita que buscamos:
<center>
<math> x = - \frac{b}{2a} \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } </math>
</center>
Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtenemos la fórmula general:
<center>
<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } </math>
</center>
Es trivial el orden en que se toman los valores de x; algunos autores prefieren colocar en primer término el valor menor de x, es decir, aquél en el cual va el signo negativo antes del radical. Antes de aplicar indiscriminadamente la fórmula general en la solución de ecuaciones de segundo grado particulares, se sugiere resolver cada ecuación empleando todos los pasos de la deducción cada vez para tener dominio del método de completar el cuadrado.
=== Teorema de Cardano-Viète ===
Para toda ecuación cuadrática de la forma:
{{ecuación|1= <math> ax^2 + bx + c = 0 \, </math>}}
de raíces <math>x_1 , x_2 \, </math> se cumplen los siguientes dos aspectos:
; Suma de raíces
: <math> x_1 + x_2 = - \frac{ b }{ a } \, </math>
Demostración:
* Partiendo del uso de la fórmula resolvente
: <math> x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } \, </math>
* Sumamos los numeradores, por ello las raíces desaparecen al ser opuestas
: <math> x_1 + x_2 = \frac{-2 b }{ 2a } \, </math>
* Simplificando nos queda
: <math> x_1 + x_2 = - \frac{ b }{ a } \, </math>
; Producto de raíces
: <math> x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \, </math>
Demostración:
* Partiendo del uso de la fórmula resolvente
: <math> x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } \, </math>
* Realizando la multiplicación, por medio del producto de [[Binomio conjugado|binomios conjugados]] en el numerador:
: <math> x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2 }{ (2 a)^2 } \, </math>
* Resolviendo las potencias nos queda:
: <math> x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac) }{ 4 a^2 } \, </math>
* Distribuyo el menos y sumo en el numerador
: <math> x_1 \cdot x_2 = \frac{ 4ac }{ 4 a^2 } \, </math>
* Simplificando nos queda:
: <math> x_1 \cdot x_2 = \frac{ c }{ a } \, </math>
Además se puede hacer uso de la [[identidad de Legendre]] para obtener la diferencia de raíces.
{{ecuación|1= <math> (x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2=4(x_1 \cdot x_2) \, </math>}}
== Solución mediante cambio de variable ==
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