Diferencia entre revisiones de «Matemáticas»
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== Etimología ==
La palabra '''"matemática"''' (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del griego antiguo μάθημα (''máthēma''), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική (''musiké'') «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética).<ref name="Heath">
{{cita libro
| apellidos = Heath
| nombre = Thomas
| título = A History of Greek Mathematics.
| año = 1921
| editorial = Oxford, Clarendon Press
| id = {{OCLC|2014918}}
}}</ref> Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de [[Aristóteles]] (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (''mathēmatikós''), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (''mathēmatikḗ tékhnē''; en latín ''ars mathematica''), significa "el arte matemática".
La forma plural ''matemáticas'' viene de la forma latina ''[[:la:mathematica|mathematica]]'' ([[Marco Tulio Cicerón|Cicerón]]), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (''ta mathēmatiká''), usada por [[Aristóteles]] y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas".
== Historia ==
{{AP|Historia de la matemática}}
<div style="float:right; margin-left:15px">
{| class="wikitable"
|+ '''Instrumentos para<br />cálculos matemáticos'''
|-
| '''Antiguos'''<br />[[Ábaco]]<br />[[Ábaco de Napier]]<br />[[Regla de cálculo]]<br />[[Regla y compás]]<br />[[Cálculo mental]]
|-
| '''Nuevos'''<br />[[Calculadora]]s<br />[[Ordenadores]]:<br />''([[Lenguajes de programación]]<br />[[software]] especializado)''
|}
</div>
La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la capacidad de [[abstracción (matemáticas)|abstracción]] del hombre o como una expansión de la materia estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también por muchos animales,<ref>S. Dehaene, Dehaene-Lambertz G. y L. Cohen, Resumen de los números de las representaciones en el cerebro humano y animal,''Tendencias en Neurociencias'', vol. 21 (8), agosto de 1998, 355-361. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236 (98) 01263-6.</ref> fueron probablemente los [[número]]s. Esta noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban.
Desde el comienzo de la [[historia]], las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los [[impuesto]]s y el [[comercio]], comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los [[astronomía|eventos astronómicos]]. Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas — la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Desde entonces, las matemáticas han tenido un profuso desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la [[ciencia]], en beneficio de ambas. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad.
Además de saber [[cuenta|contar]] los objetos físicos, los [[Prehistoria|hombres prehistóricos]] también sabían cómo contar ''cantidades abstractas'' como el [[tiempo]] ([[día]]s, [[estación|estaciones]], [[año]]s, etc.) Asimismo empezaron a dominar la [[aritmética]] elemental ([[suma]], [[resta]], [[multiplicación]] y [[división]]).
[[Archivo: Quipu.png | thumb | left | Un [[quipu]], utilizado por los [[Imperio inca|Incas]] para registrar los números.]]
Los siguientes avances requirieron la [[escritura]] o algún otro sistema para registrar los números, tales como los [[Tally|tallies]] o las cuerdas anudadas —denominadas [[quipu]] —, que eran utilizadas por los [[Inca]]s para almacenar datos numéricos. Los [[sistema de numeración|sistemas de numeración]] han sido muchos y diversos. Los primeros escritos conocidos que contienen números fueron creados por los [[Antiguo Egipto|egipcios]] en el [[Imperio Medio de Egipto|Imperio Medio]], entre ellos se encuentra el [[Papiro de Ahmes]]. La [[Cultura del valle del Indo]] desarrolló el moderno [[sistema decimal]], junto con el concepto de [[cero]].
Los antiguos babilonios utilizaban el [[sistema sexagesimal]], escala matemática que tiene por [[base]] el número [[sesenta]]. De este sistema la humanidad heredó la división actual del [[tiempo]]: el día en veinticuatro horas - o en dos períodos de doce horas cada uno -, la [[hora]] en sesenta minutos y el [[minuto]] en sesenta segundos. Los árabes proporcionaron a la cultura europea su [[sistema de numeración]], que reemplazó a la numeración romana. Este sistema prácticamente no se conocía en [[Europa]] antes de que el matemático [[Leonardo Fibonacci]] lo introdujera en [[1202]] en su obra [[Liber abbaci]] (Libro del ábaco). En un principio los europeos tardaron en reaccionar, pero hacia finales de la [[Edad Media]] habían aceptado el nuevo sistema numérico, cuya sencillez estimuló y alentó el progreso de la [[ciencia]].
[[Archivo:Maya.svg|thumb|175px|Los números mayas del 0 al 19.]]
Los [[civilización maya|mayas]] desarrollaron una avanzada [[civilización precolombina]], con avances notables en la matemática, empleando el concepto del [[cero]], y en la astronomía, calculando con bastante precisión los ciclos celestes.
=== Grandes matemáticos de la historia ===
Algunos de los matemáticos más emblemáticos han sido:
* '''[[Tales de Mileto]]''': (hacia el 600 a. C.). Matemático y geómetra griego. Considerado uno de los [[Siete Sabios de Grecia]].
:Inventor del [[Teorema de Tales]], que establece que, si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos dos triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.
* '''[[Pitágoras]]''': (582-500 a. C.). Fundador de la escuela pitagórica, cuyos principios se regían por el amor a la sabiduría, a las matemáticas y música.
:Inventor del [[Teorema de Pitágoras]], que establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados del triángulo menores que la hipotenusa y que conforman el ángulo recto). Además del teorema anteriormente mencionado, también invento una tabla de multiplicar.
* '''[[Euclides]]''': (aproximadamente 365-300 a. C.). Sabio griego, cuya obra "Elementos de Geometría" está considerada como el texto matemático más importante de la historia.
:Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:
::- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
::- En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
* '''[[Arquímedes]]''': (287-212 a. C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También conocido por una de sus frases: "Eureka, eureka, lo encontré". Su mayor logro fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe. Su principio más conocido fue el [[Principio de Arquímedes]], que consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.
* '''[[Fibonacci]]''': (1170-1240). Matemático italiano que realizó importantísimas aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números. Descubridor de la [[Sucesión de Fibonacci]], que consiste es una sucesión infinita de números naturales.
* '''[[René Descartes]]''': (1596-1650). Matemático francés, que escribió una obra sobre la teoría de las ecuaciones, en la cual se incluía la regla de los signos, para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Inventó una de las ramas de las matemáticas, la [[geometría analítica]].
* '''[[Isaac Newton]]''': (1643-1727). Matemático inglés, autor de los ''[[Philosophiae naturalis principia mathematica]]''. Abordó el [[teorema del binomio]], a partir de los trabajos de [[John Wallis]], y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del cálculo a partir de la [[geometría analítica]] desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de [[ecuaciones]].
* '''[[Gottfried Leibniz]]''': (1646-1716). Matemático alemán, desarrolló, con independencia de Newton, el cálculo infinitesimal. Creó la notación y el corpus conceptual del cálculo que se usa en la actualidad. Realizó importantes aportaciones en el campo de la teoría de los números y la geometría analítica.
* '''[[Galileo Galilei]]''': (1564-1642). Matemático italiano, cuyo principal logro fue el crear un nexo de unión entre las matemáticas y la mecánica. Fue el descubridor de la ley de la isocronía de los péndulos. Se inspira en [[Pitágoras]], [[Platón]] y [[Arquímedes]] y fue contrario a [[Aristóteles]].
* '''[[Blaise Pascal]]''': (1623-1662). Matemático francés que formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, que se denominó como Teorema de Pascal y que él mismo llamo Teoría matemática de la probabilidad.
* '''[[Leonhard Euler]]''': (1707-1783). Matemático suizo que realizó importantes descubrimientos en el campo del [[cálculo]] y la [[teoría de grafos]]. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del [[análisis matemático]], como por ejemplo la noción de [[función matemática]].
* '''[[Paolo Ruffini]]''': (1765-1822). Matemático italiano que estableció las bases de la teoría de las transformaciones de ecuaciones, descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones, y su más importante logro, inventó lo que se conoce como [[Regla de Ruffini]], que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el binomio (x - r).
* '''[[Joseph-Louis de Lagrange]]''': (1736-1813). Matemático franco-italiano, considerado como uno de los más importantes de la historia, realizó importantes contribuciones en el campo del [[cálculo]] y de la [[teoría de los números]]. Fue el padre de la [[mecánica analítica]], a la que dio forma diferencial, creó la disciplina del [[análisis matemático]], abrió nuevos campos de estudio en la teoría de las [[ecuaciones diferenciales]] y contribuyó al establecimiento formal del [[análisis numérico]] como disciplina.
* '''[[Carl Friedrich Gauss]]''': (1777-1855). Matemático alemán al que se le conoce como "el príncipe de las matemáticas". Ha contribuido notablemente en varias áreas de las matemáticas, en las que destacan la [[teoría de números]], el [[análisis matemático]], la [[geometría diferencial]]. Fue el primero en probar rigurosamente el [[Teorema Fundamental del Álgebra]]. Inventó lo que se conoce como Método de Gauss, que lo utilizó para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
* '''[[Augustin Louis Cauchy]]''': (1789-1857). Matemático francés, pionero en el [[análisis matemático]] y la [[teoría de grupos]]. Ofreció la primera definición formal de [[función matemática|función]], [[límite]] y [[continuidad]]. También trabajó la teoría de los [[determinante]]s, [[probabilidad]], el [[cálculo]] [[número complejo|complejo]], y las series.
* '''[[Jean-Baptiste Joseph Fourier]]''': (1768-1830). Matemático francés. Estudió la transmisión de calor, desarrollando para ello la [[Transformada de Fourier]]; de esta manera, extendió el concepto de función e introdujo una nueva rama dentro de la teoría de las ecuaciones diferenciales.
=== Influencia en la astronomía moderna ===
El [[astronomía|astrónomo]] [[Tycho Brahe]] anotó minuciosamente durante largo tiempo observaciones planetarias. Cuando leyó ''El misterio cosmográfico'', quedó impresionado con la percepción matemática y astronómica de [[Kepler]] y le invitó a trabajar con él en [[Benatky]], localidad cercana a [[Praga]]. Al verse obligado a tener que abandonar [[Graz]] debido a la intolerancia religiosa, Kepler aceptó la invitación. Al fallecer Brahe, Kepler le sucedió como matemático imperial de [[Rodolfo II]] y analizó las medidas sobre la posición de los planetas. Las medidas del movimiento de [[Marte (planeta)|Marte]], en particular de su [[retrogradación de los planetas|movimiento retrógrado]], fueron esenciales para que pudiera formular las tres [[leyes de Kepler]] sobre el movimiento de los planetas. Posteriormente, estas leyes sirvieron de base a la [[ley de gravitación universal]] de [[Isaac Newton|Newton]].
=== Crisis históricas ===
La matemática ha pasado por tres crisis históricas importantes:<ref>''El dedo de Galileo''. Peter Atkins. En Espasa Calpe-2003</ref>
# El descubrimiento de la [[inconmensurabilidad]] por los [[Antigua Grecia|griegos]], la existencia de los [[número irracional|números irracionales]] que de alguna forma debilitó la filosofía de los [[pitagóricos]].
# La aparición del [[Cálculo matemático|cálculo]] en el [[siglo XVII]], con el temor de que fuera ilegítimo manejar [[infinitesimal]]es.
# El hallazgo de las [[antinomia]]s, como la de [[paradoja de Russell|Russell]] o la [[paradoja de Berry]] a comienzos del [[siglo XX]], que atacaban los mismos cimientos de la materia.
== La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas y la estética ==
{{AP|Belleza matemática}}
[[Archivo:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|thumb|Sir [[Isaac Newton]] ([[1643]]-[[1727]]), comparte con [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] la autoría del desarrollo del [[cálculo|cálculo integral y diferencial]].]]
Las matemáticas surgen cuando hay problemas difíciles en los que intervienen la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio de los objetos. Al principio, las matemáticas se encontraban en el [[comercio]], en la medición de los terrenos y, posteriormente, en la [[astronomía]]. Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el [[físico]] [[Richard Feynman]] inventó la [[Integral de caminos (mecánica cuántica)|integral de caminos]] de la [[mecánica cuántica]], combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física. Hoy la [[teoría de las cuerdas]], una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro [[Interacciones fundamentales|fuerzas fundamentales de la física]], sigue inspirando a las más modernas matemáticas.<ref>{{cita libro |título = The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus|autor = Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L.|editor= [[Oxford University Press]]|año = 2002}}</ref> Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemática ''más pura'' habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que [[Eugene Wigner]] ha definido como ''la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales.''<ref>[[Eugene Wigner]], 1960, "[http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html La irracional eficacia de las matemáticas en la de Ciencias Exactas y Naturales]" ''[[Communications on Pure and Applied Mathematics]]'''''13'' '(1): 1-14.</ref>
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las [[matemáticas puras]] y las [[matemáticas aplicadas]]. La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su [[licenciatura]]. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras areas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la [[estadística]], la [[investigación de operaciones]] o la [[informática]].
Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la ''elegancia'' de la matemática, su intrínseca [[estética]] y su [[belleza]] interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la [[simplicidad]]. Hay belleza en una simple y contundente [[Demostración matemática|demostración]], como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos [[número primo|números primos]], y en un elegante [[análisis numérico]] que acelera el cálculo, así como en la [[transformada rápida de Fourier]]. [[G. H. Hardy]] en ''[[A Mathematician's Apology]]'' (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras.<ref>{{Cita libro | título = A Mathematician's Apology| autor = Hardy, GH | = editorial Cambridge University Press | año = 1940}}</ref> Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático [[Paul Erdős]] se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.<ref>{{cita libro|título = Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy| autor = Oro, Bonnie; Simons, A. Rogers | editor = MAA | año = 2008}}</ref><ref>{{cita libro|título = Proofs from the Book | autor = Aigner, Martin; Ziegler, M. Gunter | editorial Springer = | año = 2001}}</ref> La popularidad de la [[matemática recreativa]] es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.
== Notación, lenguaje y rigor ==
[[Archivo:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|[[Leonhard Euler]]. Probablemente el más prolífico matemático de todos los tiempos.]]
{{AP|Notación matemática}}
La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII.<ref>[http://www.doe.virginia.gov/Div/Winchester/jhhs/math/facts/symbol.html Utilización de diversos símbolos matemáticos] (Véase [[Anexo:Símbolos matemáticos]])</ref> Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limita el avance matemático. En el siglo XVIII, [[Leonhard Euler|Euler]], fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan una gran cantidad de información. Al igual que la [[notación musical]], la notación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.
[[Archivo: Infinity symbol.svg|thumb|left|150px|El símbolo de [[infinito]] en diferentes tipografías.]]
El [[lenguaje]] matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como ''o'' y ''sólo'' tiene significados más precisos que en lenguaje cotidiano. Además, palabras como ''[[conjunto abierto|abierto]]'' y ''[[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]]'' tienen significados matemáticos muy concretos. La [[jerga matemática]], o lenguaje matematico, incluye términos técnicos como ''[[homeomorfismo]]'' o ''[[integral|integrabilidad]]''. La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en la lógica como el "rigor".
El [[rigor]] es una condición indispensable que debe tener una [[demostración matemática]]. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar [[teorema]]s erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.<ref>Véase ''[[falsa demostración]]'' para comprobar mediante ejemplos sencillos los errores que se pueden cometer en una demostración oficial. El [[teorema de los cuatro colores]] contiene ejemplos de demostraciones falsas aceptadas accidentalmente por otros matemáticos del momento.</ref> El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de [[Isaac Newton]] los métodos empleados eran menos rigurosos. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.<ref> Ivars Peterson,''La matemática turística'', Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Algunos se quejan de que el programa de ordenador no puede ser verificado correctamente," (en referencia a la Haken de Apple la prueba de color Teorema de los Cuatro).</ref>
Un [[axioma]] se interpreta tradicionalmente como una "verdad evidente", pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un [[sistema axiomático]].
== La matemática como ciencia ==
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