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{{cita|"para cada número real ''ε'' mayor que cero existe un número real ''δ'' mayor que cero tal que, para todo ''x'', si la distancia entre ''x'' y ''c'' (''x'' no es igual a ''c'') es menor que ''δ'', entonces la distancia entre la imagen de ''x'' y ''L'' es menor que ''ε'' unidades".}}
 
=== Límites notables ===
Definición rigurosa [editar]
 
Como ejemplo de '''límites notables''' tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:
 
* <math> {\lim_{x \to c\infty} \,left (1+ \,frac f({1}{x} \right )^x } =\, Le </math> &nbsp; &nbsp; ([[número e]])
* <math> {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} =\, 1 </math>
* <math> {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =\, 1 </math>
 
==== Demostración ====
si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la [[inecuación]] sen(''x'') < x < tan(''x'') en el intervalo (0,π/2), que relaciona ''x'' con las funciones [[función seno|seno]] y [[tangente]]. Luego dividimos por sen(''x''), obteniendo:
 
\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : \\ \forall x(0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon) \end{array}
 
Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:
"para cada número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que, para todo x, si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Límites notables [editar]
 
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
 
* {\lim_{x \to \infty} \left (1+ \frac {1}{x} \right )^x } =\, e (número e)
* {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} =\, 1
* {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =\, 1
 
Demostración [editar]
 
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:
 
1 < \frac{x}{\operatorname{sen\,}x} < \frac{1}{\cos x}
 
:<math>1 < \frac{x}{\operatorname{sen\,}x} < \frac{1}{\cos x}</math>
Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:
:<math>\cos x < \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < 1</math>
 
Calculando el límite cuando ''x'' tiende a 0:
\cos x < \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < 1
:<math>\lim_{x\to 0} \cos x < \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < \lim_{x\to 0} 1 </math>
 
Calculando el límite cuando x tiende a 0:
 
\lim_{x\to 0} \cos x < \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < \lim_{x\to 0} 1
 
Lo que es igual a:
:<math>1 < \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < 1</math>
 
Aplicando el [[teorema del sándwich]] o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:
1 < \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < 1
:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen\,}(x)}{x}=1</math>
 
Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:
 
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen\,}(x)}{x}=1
 
El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:
 
:<math>
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} = {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}= 1 \cdot 1 = 1
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =
 
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}=
El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.
1 \cdot 1 = 1
Límite de una sucesión [editar]
</math>
a_{n} = \begin{cases} 16 & \mbox{si } n = 0 \\ \cfrac{a_{n-1}}{2} & \mbox{si } n > 0 \end{cases}
Artículo principal: Límite de una sucesión
 
La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a \infty. Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:
 
\lim_{n\to\infty}a_n = a
 
si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Formalmente:
 
a_n \to a \Leftrightarrow \forall\epsilon>0, \exists N>0 : \forall n\ge N, |a_n - a|<\epsilon
 
Propiedades de los límites [editar]
Generales [editar]
 
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.
 
* \lim_{x \to a} x = \, a \,
 
* Límite por un escalar.
 
\lim_{x \to a} kf(x) =\, k\lim_{x \to a} f(x)\, donde k es un multiplicador escalar.
 
* Límite de una suma.
 
\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\,
 
* Límite de una resta.
 
\lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\,
 
* Límite de una multiplicación.
 
\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\,
 
* Límite de una división.
 
\underset {x \to a} {\lim} \; \frac {f(x)}{g(x)} = \frac {\underset {x \to a} {\lim} \; f(x)} {\underset {x \to a} {\lim} \; g(x)} \quad \mathrm{si}\ \lim_{x \to a} g(x) \ne 0
 
Indeterminaciones [editar]
 
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:
 
\infty - \infty, \; \frac{\infty}{\infty}, \; \infty \cdot 0 , \; \frac{0}{0}, \; \infty ^0, \; 1^\infty,0^0 \,
 
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.
 
Un ejemplo de indeterminación del tipo \textstyle \frac{0}{0} es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :
 
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty
 
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0} 1 =1
 
El límite que obtiene el [[número e]] se demuestra de manera análoga, desarrollando el [[binomio de Newton]] y aplicando el límite cuando ''x'' tiende a [[infinito]].
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0} {t} = 0
 
== Límite de una sucesión ==
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