Diferencia entre revisiones de «Ecuación de segundo grado»
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# Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).
=== Deducción de la fórmula general===
Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.
Sea dada la ecuación:
<center>
<math> ax^2 + bx + c = 0 \,</math>
</center>
donde <math> a \neq 0 </math> para garantizar que sea ''realmente'' una ecuación polinómica de segundo grado.
Como '''a''' es distinto de cero, podemos dividir entre '''a''' cada término de la ecuación:
<center>
<math> x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 </math>
</center>
Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:
<center>
<math> x^2 + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a} </math>
</center>
Para completar el [[trinomio cuadrado perfecto]] (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por lo que sumamos <math> \left(\frac{b}{2a} \right)^2 </math> en ambos miembros de la ecuación:
<center>
<math> x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a} \right)^2 = \left(\frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a} </math>
</center>
Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:
<center>
<math> \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} </math>
</center>
Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho:
<center>
<math> \left(x + \frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} </math>
</center>
Extraemos raiz cuadrada en ambos miembros:
<center>
<math> x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt { \frac{b^2-4ac}{4a^2} } </math>
</center>
Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:
<center>
<math> x + \frac{b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ \sqrt{(2a)^2} } </math>
</center>
Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:
<center>
<math> x + \frac{b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } </math>
</center>
Despejamos la incógnita que buscamos:
<center>
<math> x = - \frac{b}{2a} \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } </math>
</center>
Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtenemos la fórmula general:
<center>
<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } </math>
</center>
Es trivial el orden en que se toman los valores de x; algunos autores prefieren colocar en primer término el valor menor de x, es decir, aquél en el cual va el signo negativo antes del radical. Antes de aplicar indiscriminadamente la fórmula general en la solución de ecuaciones de segundo grado particulares, se sugiere resolver cada ecuación empleando todos los pasos de la deducción cada vez para tener dominio del método de completar el cuadrado.
=== Teorema de Cardano-Viète ===
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