Diferencia entre revisiones de «Raíz cuadrada»
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[[Archivo:Complex sqrt leaf1.jpg|thumb|Raíz cuadrada compleja.]]
[[Archivo:Complex sqrt leaf2.
[[Archivo:Riemann surface sqrt.jpg|thumb|Usando la [[superficie de Riemann]] de la raíz cuadrada, se puede ver como encajan las dos hojas.]]
El cuadrado de cualquier número real positivo o negativo es positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, ningún número negativo puede tener una raíz cuadrada en los números reales. Sin embargo, es posible trabajar con un sistema más grande de números, llamados los números complejos, que contienen soluciones a la raíz cuadrada de un número negativo. Esto es hecho introduciendo un nuevo número, denotado por i (a veces j, especialmente en el contexto de la [[electricidad]]) y llamado [[unidad imaginaria]], que se define tal que <math>i^2 = -1\,\!</math>. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos <math>(-i)^2= i^2 = -1\,\!</math>, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier [[número real]] positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:
:<math>\sqrt{-x} = \sqrt{-1}\sqrt{x} = i\sqrt{x}</math>
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que <math>i^2 = -1\,\!</math>, por lo que entonces:
:<math>\left(i\sqrt{x}\right)^2 = i^2\sqrt{x}^2=(-1)x=-x</math>
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad
:<math>\sqrt{\pm ix}=\sqrt{\frac{x}{2}}\pm i\sqrt{\frac{x}{2}}</math>
Por los argumentos dados, <math>i</math> no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo <math>z</math>, no podemos definir <math>\sqrt z</math>para ser la raíz cuadrada “positiva” de <math>Z</math>.
Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que <math>w^2 = Z\,\!</math>. Por ejemplo, las raíces cuadradas de <math>i</math> son:
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