Diferencia entre revisiones de «Ley de elasticidad de Hooke»
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En [[física]], la '''ley de elasticidad de Hooke''' o '''ley de Hooke''', originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada ''F'':
{{ecuación|
<math> \epsilon = \frac{\delta}{L} = \frac{F}{AE} </math>
||left}}
siendo δ el alargamiento, ''L'' la longitud original, ''E'': [[módulo de Young]], ''A'' la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado [[límite de elasticidad|límite elástico]].
Esta ley recibe su nombre de [[Robert Hooke]], físico británico contemporáneo de [[Isaac Newton]]. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso [[anagrama]], ''ceiiinosssttuv'', revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa ''Ut tensio sic vis'' ("como la extensión, así la fuerza").
== Ley de Hooke para los resortes ==
La forma más común de representar matemáticamente la ''Ley de Hooke'' es mediante la ecuación del [[muelle]] o [[resorte]], donde se relaciona la fuerza ''F'' ejercida sobre el resorte con la [[elongación]] o alargamiento δ producido:
{{ecuación|
<math>F = -k\delta \, </math>||left}}
donde ''k'' se llama [[rigidez|constante elástica]]) del resorte y <math> \delta\, </math> es su elongación o variación que experimenta su longitud.
La energía de deformación o energía potencial elástica ''<math>U_k</math>'' asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:
{{ecuación|
<math>U_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2 </math>
||left}}
Es importante notar que la <math>k</math> antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando <math>k</math> por la longitud total, y llamando al producto <math>k_i\,</math> o <math>k\,</math> intrínseca, se tiene:
{{ecuación|
<math>k=\frac{k_i}{L}</math>
||left}}
Llamaremos <math>F(x)\,</math> a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, <math>k_{\Delta x}</math> a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud <math>\Delta x</math> a la misma distancia y <math>\delta_{\Delta x}</math> al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza <math>F(x)</math>. Por la ley del muelle completo:
{{ecuación|<math>F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x}=k_i\frac{\delta_{\Delta x}}{\Delta x}</math>||left}}
Tomando el límite:
{{ecuación|
<math>F(x)=-k_i\frac{{\delta}_{dx}}{dx}</math>
||left}}
que por el principio de superposición resulta:
{{ecuación|
<math>F\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-AE\frac{d\delta}{dx}</math>
||left}}
Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene como [[ecuación de onda]] unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: [[Muelle elástico]]). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:
{{ecuación|
<math>c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}</math>
||left}}
== Ley de Hooke en sólidos elásticos ==
En la [[mecánica de sólidos deformables]] [[Elasticidad (mecánica de sólidos)|elásticos]] la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La [[deformación]] en el caso más general necesita ser descrita mediante un [[tensor de deformaciones]] mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se representados por un [[tensor tensión|tensor de tensiones]]. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por '''ecuaciones de Hooke generalizadas''' o '''ecuaciones de Lamé-Hooke''', que son las [[ecuación constitutiva|ecuaciones constitutivas]] que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la [[Constante elástica|forma general]]:
{{Ecuación|
<math>\sigma_{ij} = \sum_{k,l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,</math>
||left}}
=== Caso unidimensional ===
En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar σ = σ<sub>11</sub>, ε = ε<sub>11</sub>, ''C''<sub>11</sub> = ''E'' y la ecuación anterior se reduce a:
{{Ecuación|
<math> \sigma = E\epsilon \,</math>
||left}}
donde ''E'' es el [[módulo de Young]].
=== Caso tridimensional isótropo ===
Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e [[isótropo]] se requieren además del [[módulo de Young]] otra constante elástica, llamada [[coeficiente de Poisson]] (ν). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e [[isótropo]] pueden ser deducidas del [[teorema de Rivlin-Ericksen]], que pueden escribirse en la forma:</br>
</br>
:<math>\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}</math>
:<math>\epsilon_{yy} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{yy} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{yz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{yz}</math>
:<math>\epsilon_{zz} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}) \right) \qquad \epsilon_{xz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xz}</math>
En forma matricial, en términos del módulo de Young y el [[coeficiente de Poisson]] como:
{{ecuación|
<math>
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{xx}\\
\varepsilon_{yy}\\
\varepsilon_{zz}\\
\varepsilon_{xy}\\
\varepsilon_{xz}\\
\varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & & & \\
-\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & & & \\
-\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} \\
& & & \frac{1+\nu}{E} & 0 & 0 \\
& & & 0 & \frac{1+\nu}{E} & 0 \\
& & & 0 & 0 & \frac{1+\nu}{E} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx}\\
\sigma_{yy}\\
\sigma_{zz}\\
\sigma_{xy}\\
\sigma_{xz}\\
\sigma_{yz}
\end{pmatrix}
</math>
||left}}
Las relaciones inversas vienen dadas por:
{{ecuación|
<math>
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx}\\
\sigma_{yy}\\
\sigma_{zz}\\
\sigma_{xy}\\
\sigma_{xz}\\
\sigma_{yz}
\end{pmatrix}
=
\frac{E}{1+\nu}
\begin{pmatrix}
\frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & & & \\
\frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & & & \\
\frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & & & \\
& & & 1 & 0 & 0 \\
& & & 0 & 1 & 0 \\
& & & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{xx}\\
\varepsilon_{yy}\\
\varepsilon_{zz}\\
\varepsilon_{xy}\\
\varepsilon_{xz}\\
\varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}
</math>
||left}}
== Véase también ==
* [[Prueba de tensión (material)|Prueba de tensión]]
* [[Constante elástica]]
[[Categoría:Principios y leyes físicas]]
[[ar:قانون هوك]]
[[bs:Hookeov zakon]]
[[ca:Llei de Hooke]]
[[cs:Hookeův zákon]]
[[da:Hookes lov]]
[[de:Hookesches Gesetz]]
[[el:Νόμος του Χουκ]]
[[en:Hooke's law]]
[[eo:Leĝo de Hooke]]
[[et:Hooke'i seadus]]
[[fa:قانون هوک]]
[[fi:Hooken laki]]
[[fr:Loi de Hooke]]
[[gl:Lei de Hooke]]
[[he:חוק הוק]]
[[hi:हुक का नियम]]
[[hr:Hookeov zakon]]
[[hu:Hooke-törvény]]
[[id:Hukum Hooke]]
[[it:Legge di Hooke]]
[[ja:フックの法則]]
[[ko:훅의 법칙]]
[[la:Lex Hooke]]
[[lt:Huko dėsnis]]
[[lv:Huka likums]]
[[ms:Hukum Hooke]]
[[nl:Wet van Hooke]]
[[no:Hookes lov]]
[[pl:Prawo Hooke'a]]
[[pt:Lei de Hooke]]
[[ro:Legea lui Hooke]]
[[ru:Закон Гука]]
[[simple:Hooke's Law]]
[[sk:Hookov zákon]]
[[sl:Hookov zakon]]
[[sr:Хуков закон]]
[[sv:Hookes lag]]
[[tr:Hooke kanunu]]
[[uk:Закон Гука]]
[[zh:胡克定律]]
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