Diferencia entre revisiones de «Distancia»
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== Distancia en geometría ==
Se denomina [[distancia euclídea]] entre dos [[punto (geometría)|punto]]s <math>A(x_1, y_1)</math> y <math>B(x_2, y_2 )</math> del plano a la longitud del [[segmento]] de [[recta]] que tiene por extremos <math>A</math> y <math>B</math>. Puede calcularse así:
:<math>d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math>
La distancia entre un punto <math>P</math> y una recta <math>R</math> es la longitud del segmento de recta que es perpendicular a la recta <math>R: Ax + By + C = 0 </math> y la une al punto <math>P(x_1, y_1)</math>. Puede calcularse así:
:<math>d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>
donde |·| denota valor absoluto.
La distancia entre dos [[Paralelismo|rectas paralela]]s es la longitud del segmento de recta perpendicular a ambas que las une.
La distancia entre un punto <math>P</math> y un [[plano (geometría)|plano]] <math>L</math> es la longitud del segmento de recta perpendicular al plano <math>L : Ax + By + Cz + D = 0</math> que lo une al punto P (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>) y puede calcularse así:
:<math>d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>
== Definición formal ==
Desde un punto de vista formal, para un [[conjunto]] de elementos <math>X</math> se define '''distancia''' o '''métrica''' como cualquier [[función matemática|función]] [[binaria]] <math>d(a,b)</math> de <math>X \times X</math> en <math>\mathbb{R}</math> que verifique las siguientes condiciones:
* No negatividad: <math>d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X</math>
* [[Simetría]]: <math>d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X</math>
* [[Desigualdad triangular]]: <math>d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X</math>
* <math>\forall x \in X : d(x,x)=0</math>.
* Si <math>x,y \in X</math> son tales que <math>d(x,y)=0</math>, entonces <math>x=y</math>.
Si dejamos de exigir que se cumpla esta última condición, al concepto resultante se le denomina '''[[pseudodistancia]]''' o '''pseudométrica'''.
La distancia es el concepto fundamental de la Topología de Espacios Métricos. Un [[espacio métrico]] no es otra cosa que un par <math>(X,d)</math>, donde <math>X</math> es un conjunto en el que definimos una distancia <math>d</math>.
En el caso de que tuviéramos un par <math>(X,d)</math> y <math>d</math> fuera una pseudodistancia sobre <math>X</math>, entonces diríamos que tenemos un [[espacio pseudométrico]].
Si <math>(X,d)</math> es un espacio métrico y <math>E \subset X</math>, podemos restringir <math>d</math> a <math>E</math> de la siguiente forma:
<math>d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R}</math> de forma que si <math>x,y \in E</math> entonces <math>d'(x,y)=d(x,y)</math> (es decir, <math>d'=d|_{E \times E}</math>). La aplicación <math>d'</math> es también una distancia sobre <math>d</math>, y como comparte sobre <math>E \times E</math> los mismos valores que <math>d</math>, se denota también de la misma manera, es decir, diremos que <math>(E,d)</math> es subespacio métrico de <math>(X,d)</math>.
=== Distancia de un punto a un conjunto ===
Si <math>(X,d)</math> es un espacio métrico, <math>E \subset X</math>, <math>E \ne \varnothing</math> y <math>x \in X</math>, podemos definir la distancia del punto <math>x</math> al conjunto <math>E</math> de la siguiente manera: <math>d(x,E):= inf \{d(x,y): y \in E\}</math>.
Es de destacar las siguientes tres cosas:
* En primer lugar, en las condiciones dadas, siempre existirá esa distancia, pues <math>d</math> tiene por dominio <math>X \times X</math>, así que para cualquier <math>y \in E</math> existirá un único valor real positivo <math>d(x,y)</math>. Por la completitud de <math>\mathbb{R}</math> y como la imagen de d está acotada inferiormente por 0, queda garantizada la existencia del ínfimo de ese conjunto, esto es, la distancia del punto al conjunto.
* Si <math> x \in E</math> entonces <math>d(x,E)=0</math>.
* Puede ser que <math>d(x,E)=0</math> pero <math>x \notin E</math>, por ejemplo si <math>x</math> es un punto de adherencia de <math>E</math>. De hecho, la clausura de <math>E</math> es precisamente el conjunto de los puntos de <math>X</math> que tienen distancia 0 a <math>E</math>.
Los casos de distancia de un punto a una recta o de distancia de un punto a un plano no son más que casos particulares de la distancia de un punto a un conjunto, cuando se considera la distancia euclídea.
=== Distancia entre dos conjuntos ===
Si <math>(X,d)</math> es un espacio métrico, <math>A \subset X</math> y <math>B \subset X</math>, <math>A \ne \varnothing</math>, <math>B \ne \varnothing</math>, podemos definir la distancia entre los conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> de la siguiente manera: <math>d(A,B):= inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}</math>.
Por la misma razón que antes, siempre está definida. Además <math>d(A,A)=0</math>, pero puede ocurrir que <math>d(A,B)=0</math> y sin embargo <math>A \ne B</math>. Es más, podemos tener dos conjuntos cerrados cuya distancia sea 0 y sin embargo sean disjuntos, e incluso que tengan clausuras disjuntas. Por ejemplo, el conjunto <math>A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}</math> y el conjunto <math>B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}</math>. Por un lado, <math>A=cl(A)</math>, <math>B=cl(B)</math> y <math>A \cap B = \varnothing</math>, y por otro <math>d(A,B)=1</math>.
La distancia entre dos rectas, la distancia entre dos planos, etc. no son más que casos particulares de la distancia entre dos conjuntos cuando se considera la distancia euclídea.
== Véase también ==
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