Distancia

línea recta que une dos puntos
Plano de Manhattan. La distancia euclidiana (segmento verde), no se corresponde con el «camino más corto posible» ente dos puntos de dicha ciudad, además de no existir sólo un camino de menor longitud.
La menor distancia entre dos puntos recorrida sobre la superficie de una esfera es un arco de círculo máximo: la ortodrómica.

En las matemáticas, la distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de la recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada geodésica.

En física, la distancia es una magnitud escalar, que se expresa en unidades de longitud.

Índice

Distancia en la geometría con coordenadasEditar

Distancia en la rectaEditar

Hay una correspondencia 1-1 entre los puntos de una recta y el conjunto ℝ de los números reales, de modo que a cada punto le corresponde un solo punto, y a un punto, exactamente un número real. Para hacer esto se precisa de un punto O y fijo de la recta y otro punto U, tal que por definición 1 es la abscisa de U. Se denota U(1). Están a la derecha los puntos de abscisa positiva, a la izquierda los puntos de abscisa negativa, y el origen O, tiene abscisa 0. Tal recta provista de abscisas para su puntos se denomina recta real

Si   son dos puntos de la recta real, entonces la distancia entre los puntos A y B es   [1]

Distancia en el planoEditar

Si   son dos puntos de un plano cartesiano, entonces la distancia entre dischos puntos es   [2]

Distancia en espacio métricoEditar

Desde un punto de vista formal, para un conjunto de elementos   se define distancia o métrica como cualquier función matemática o aplicación   de   en   que verifique las siguientes condiciones:

  • No negatividad:   y  .
  • Simetría:  
  • Desigualdad triangular:   [3]
  • Si   son tales que  , entonces  .

Si dejamos de exigir que se cumpla esta última condición, al concepto resultante se le denomina pseudodistancia o pseudométrica.

La distancia es el concepto fundamental de la Topología de Espacios Métricos. Un espacio métrico no es otra cosa que un par  , donde   es un conjunto en el que definimos una distancia  .

En el caso de que tuviéramos un par   y   fuera una pseudodistancia sobre  , entonces diríamos que tenemos un espacio pseudométrico.

Si   es un espacio métrico y  , podemos restringir   a   de la siguiente forma:   de forma que si   entonces   (es decir,  ). La aplicación   es también una distancia sobre  , y como comparte sobre   los mismos valores que  , se denota también de la misma manera, es decir, diremos que   es subespacio métrico de  .

Distancia de un punto a un conjuntoEditar

Si   es un espacio métrico,  ,   y  , podemos definir la distancia del punto   al conjunto   de la siguiente manera:

 . [4]

Es de destacar las siguientes tres propiedades:

  • En primer lugar, en las condiciones dadas, siempre existirá esa distancia, pues   tiene por dominio  , así que para cualquier   existirá un único valor real positivo  . Por la completitud de   y como la imagen de d está acotada inferiormente por 0, queda garantizada la existencia del ínfimo de ese conjunto, esto es, la distancia del punto al conjunto.
  • Si   entonces  .
  • Puede ser que   pero  , por ejemplo si   es un punto de adherencia de  . De hecho, la clausura de   es precisamente el conjunto de los puntos de   que tienen distancia 0 a  .

Los casos de distancia de un punto a una recta o de distancia de un punto a un plano no son más que casos particulares de la distancia de un punto a un conjunto, cuando se considera la distancia euclidiana. (la fórmula de distancia de un punto a una recta está incorrecta, traten de solucionar, por favor)

Distancia entre dos conjuntosEditar

Si   es un espacio métrico,   y  ,  ,  , podemos definir la distancia entre los conjuntos   y   de la siguiente manera:

 . [5]

Por la misma razón que antes, siempre está definida. Además  , pero puede ocurrir que   y sin embargo  . Es más, podemos tener dos conjuntos cerrados cuya distancia sea 0 y sin embargo sean disjuntos, e incluso que tengan clausuras disjuntas.

Por ejemplo, el conjunto   y el conjunto  . Por un lado,  ,   y  , y por otro  .

La distancia entre dos rectas, la distancia entre dos planos, etc. no son más que casos particulares de la distancia entre dos conjuntos cuando se considera la distancia euclidiana.

Referencias y notasEditar

  1. Howard E. Taylor; Thomas L. Wade: Geometría analítica bidimensional Subconjuntos del plano. Editorial Limusa S.A. de C.V, México D.F. ( 1986) ISBN 968-18-0038-9
  2. D. Kleténik: Problemas de geometría analítica. Editorial Mir, Moscú (1968); revisado por N. Efímov, traducción de Emilio Aparicio Bernardo.
  3. Walter Rudin: Principios de análisis matemático. Libros McGraw-Hill, impreso en México D-F. (1980). Lo traduce Miguel Irán ,o revisa Luis Briseño.
  4. V.A. Trenogui-B.M. Pisarievki-T-S. Sóboleva: Problemas y ejercicios de análisiS funcionaL. Editorial Mir, Moscú (1984) ; traduce del ruso, Andriánova M.A ; impreso en la URSS.
  5. Trenoguin y otros: Op. cit.

Véase tambiénEditar