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Diferencia entre revisiones de «Integración»

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{{ot
 
[[Archivo:Integral example.png|thumb|La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.]]
 
La '''integración''' es un concepto fundamental de las [[matemáticas]] avanzadas, especialmente en los campos del [[Cálculo matemático|cálculo]] y del [[análisis matemático]]. Básicamente, una '''integral''' es una [[suma]] de [[infinito]]s sumandos, infinitamente pequepequeños.
 
Dada una [[función matemática|función]] ''f''(''x'') de una [[variable]] [[número real|real]] '''x''' y un [[intervalo (matemáticas)|intervalo]] [''a'',''b''] de la [[recta real]], la '''integral'''
 
: <math>\int_a^b f(x)\,dx </math>
 
es igual al [[área]] de la región del plano ''xy'' limitada entre la [[Gráfica de una función|gráfica]] de ''f'', el eje ''x'', y las líneas verticales ''x'' = ''a'' y ''x'' = ''b'', donde son negativas las áreas por debajo del eje ''x''.
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La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de ''primitiva'': una función ''F'', cuya [[derivada]] es la función dada ''f''. En este caso se denomina '''[[integral indefinida]]''', mientras que las integrales tratadas en este artículo son las '''integrales definidas'''. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
 
[[Isaac Newton|Newton]] y [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] a finales del [[siglo XXVIIXVII]]. A través del [[teorema fundamental del cálculo]], que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la [[derivada|derivación]], y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del [[Cálculo matemático|cálculo]], con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.
 
[[Bernhard Riemann]] dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un [[límite]] que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del [[siglo XIX]], empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La [[integral curvilínea]] se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [''a'',''b''] se sustituye por una cierta [[curva]] que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una [[integral de superficie]], la curva se sustituye por un trozo de una [[Superficie (matemática)|superficie]] en el espacio tridimensional.
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La integración se puede trazar en el pasado hasta el [[antiguo Egipto]], ''circa'' 1800&nbsp;a.&nbsp;C., con el [[papiro de Moscú]], donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un [[tronco (matemáticas)|tronco]] [[Pirámide (geometría)|piramidal]]. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el [[método de exhausción]] de [[Eudoxo de Cnido|Eudoxo]] (''circa'' 370&nbsp;a.&nbsp;C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por [[Arquímedes]], que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en [[China]] alrededor del [[siglo III]] por [[Liu Hui]], que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, [[Zu Chongzhi]] usó este método para encontrar el volumen de una [[esfera]]. En el ''Siddhanta Shiromani'', un libro de astronomía del [[siglo XII]] del matemático [[India|indio]] [[Bhaskara II]], se encuentran algunas ideas de cálculo integral.
 
Hasta el [[siglo XXVIXVI]] no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de [[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]] con su ''método de los indivisibles'' y, por otro lado, con los trabajos de [[Fermat]], se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del [[siglo XVII]], se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de [[Isaac Barrow|Barrow]] y [[Evangelista Torricelli|Torricelli]], que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la [[derivada|derivación]].
 
=== Newton y LebinizLeibniz ===
Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XXVIIXVII con el descubrimiento del [[teorema fundamental del cálculo]], realizado de manera independiente por [[Isaac Newton|Newton]] y [[Gottfried Leibniz|Leibniz]]. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el [[Cálculo matemático|cálculo]] moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.
 
=== Formalización de las integrales ===
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