Diferencia entre revisiones de «Teorema de Desargues»
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En [[geometría proyectiva]], el '''teorema de Desargues''', llamado así en honor a [[Gérard Desargues]] afirma la siguiente:
{{teorema
|1= En el plano proyectivo, dos triángulos son perspectivos desde un punto si y sólo si son perspectivos desde una recta.
|2=
}}
Considere los triángulos ABC y DEF. El que los triángulos sean ''perspectivos desde un punto'' significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O De manera similar el que los triángulos sean ''perspectivos desde una recta'' significa que los pares de lados AB, DE; BC, EF; AC, DF se cortan sobre una misma recta r.
Al punto O se le llama ''centro de perspectiva'' y a la recta r, ''eje de perspectiva''.
=== Demostración del teorema ===
[[Categoría:Geometría]]▼
[[Imagen:Desteodem.svg|left]]
Para demostrar este teorema, considere los planos p y q secantes en la recta r. Sea AB un segmento sobre el plano q y M la intersección de la recta AB con la recta r. Sean S y T dos puntos exteriores a dichos planos. Sean C y D las proyecciones sobre el plano p de los puntos A y B desde el punto S y E y F las proyecciones del mismo segmento AB desde el punto T sobre el plano p.
El plano determinado por los puntos SAB corta al plano p sobre la recta CD. El punto M se encuentra sobre el dicho plano, por estar sobre la recta AB y por esta razón M se halla sobre la recta CD. Usando los mismos argumentos, pero considerando ahora el plano TAB, se demuestra que el punto M es común a las rectas AB y EF. Así, las rectas CD y EF se cortan en el mismo punto M sobre la recta r.
Sea O la intersección de la recta ST sobre el plano p. El plano STA corta al plano p sobre la recta CE que contiene al punto O. De manera similar, el plano STB corta al plano p en la recta DF que también contiene al punto O. Por tanto, las rectas CE y DF se cortan en dicho punto.
:De modo que los pares de puntos C, E y D, F son proyectivos desde el punto O. Las rectas CD y EF son proyectivas desde la recta r.
El recíproco también es cierto: Si las rectas CD y EF en un mismo plano p, son proyectivas desde una recta r y los puntos correspondientes C, E y D, F son proyectivos desde un punto O en dicho plano, entonces existe un plano q, secante al plano p en r, una recta AB sobre dicho plano y un par de puntos exteriores a ambos planos desde los cuales la recta AB se poryecta sobre CD y EF, el punto A sobre C y E y el punto B sobre D y F.
En el teorema de Desargues, podemos considerar los triangulos como las proyecctiones de un único triángulo sobre algún plano q desde dos puntos distintos S y T. La recta r y el punto O son respectivamente, la intersección del plano q con aquél donde los dos triángulos son perspectivos, y la intersección de la recta ST con aquél plano. Los vértices correspondientes en ambos triangulos serán proyectivos desde el punto O y los lados correspondientes de ambos triángulos serán proyectivos desde la recta r. Esto demuestra el teorema
=== Referencias ===
* Luigi Cremona, ''Elements of Projective Geometry'' third edition, Dover 2005 ISBN 0-486-44266-7
[[Categoría:Teoremas de geometría|Desargues]]
▲[[Categoría:Geometría proyectiva]]
[[ar:مبرهنة ديسارغو]]
[[de:Satz von Desargues]]
[[en:Desargues' theorem]]
[[fi:Desarguesin lause]]
[[fr:Théorème de Desargues]]
[[it:Teorema di Desargues]]
[[ja:デザルグの定理]]
[[nl:Stelling van Desargues]]
[[pl:Twierdzenie Desarguesa]]
[[ru:Теорема Дезарга]]
[[uk:Теорема Дезарга]]
[[zh:笛沙格定理]]
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