Diferencia entre revisiones de «Número natural»
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# Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Éste es el axioma de inducción, que captura la idea de [[inducción matemática]].
=== Definición en teoría de conjuntos ===
En [[teoría de conjuntos]] se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una [[Función biyectiva|biyección]] desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de ''número 2'', se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por [[Bertrand Russell]], y más tarde simplificada por [[Von Neumann]] quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto <math>x</math> se dice que es un ''número natural'' si cumple
# Para cada <math>y\in x</math>, <math>y\subseteq x</math>
# La relación <math>\in _x = \left\{\left(a,b\right)\in x\times x \mid a\in b\right\}</math> es un [[orden total]] estricto en <math>x</math>
# Todo subconjunto no vacío de <math>x</math> tiene elementos mínimo y máximo en el orden <math>\in _x</math>
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que <math>\emptyset</math> no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de ''sucesor''.
Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por <math>0</math> y que cada número natural <math>n</math> tiene un ''sucesor'' denotado como <math>n^+</math>. Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:
:<math>0=\emptyset</math>
:<math>n^+=n\cup \{n\}</math>
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:
* Por definición <math>0=\{\}</math> (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
* 1 es el sucesor de 0, entonces <math>1=0^+=\emptyset\cup\{0\}=\{0\}</math>
* 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces <math>2=1^+=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}</math>
* y en general
:<math>3=\{0,1,2\}\,</math>
:<math>4=\{0,1,2,3\}\,</math>
:<math>5=\{0,1,2,3,4\}\,</math>
:<math>\vdots</math>
Esto permite establecer una [[relación de orden]] entre los elementos del conjunto a pesar de que un [[conjunto]] es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión
:<math>a\leq b \iff a\subseteq b</math>
es decir que un número <math>a</math> ''es menor o igual que'' <math>b</math> [[Coimplicación|si y sólo si]] <math>b</math> contiene a todos los elementos de <math>a</math>.
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así <math>a<b\,</math> si y sólo si <math>a\in b</math>.
Ésa es la construcción [[Sistema formal|formal]] de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo [[axioma|axiomático]] [[Axiomas de Zermelo-Fraenkel|Zermelo-Fraenkel]]. El [[postulado]] de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como [[inducción matemática]].
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si <math>A</math> es un conjunto inductivo, entonces <math>\mathbb{N}\subseteq A</math>. Esto significa que, en efecto, <math>\mathbb{N}</math> es el mínimo conjunto inductivo.
Se define la [[suma]] por [[inducción]] mediante:
:<math>a+0 = a \,</math>
:<math>a+b^+=(a+b)^+ \,</math>
Lo que convierte a los números naturales <math>(\mathbb{N}, +)</math> en un [[monoide]] conmutativo con [[elemento neutro]] 0, el llamado ''Monoide Libre con un generador''. Este monoide satisface la propiedad [[Cancelativo|cancelativa]] y por lo tanto puede incluirse en un [[Grupo (matemática)|grupo matemático]]. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los [[número entero|números enteros]].
De manera análoga, la [[multiplicación]] × se define mediante las expresiones
:<math>a\times 0 = 0</math>
:<math>a\times b^+=(a\times b)+a</math>
Esto convierte <math>(\mathbb{N}, \times)</math> (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.
Otra forma de construcción de <math>\mathbb{N}</math> es la siguiente:
Sea <math>\mathbb{F}</math> la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera
Dados A y B∈<math>\mathbb{F}</math> se dice que A R B <math>\Leftrightarrow</math> Existe una aplicación biyectiva de A sobre B,es decir,existe <math>f \colon A \to B \,</math> biyectiva.
Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente <math>\mathbb{F}/R\ = \{ [A] / A\in \mathbb{F} \}</math>los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que <math>(\mathbb{N}, +,\times)</math> sea un semianillo conmutativo y unitario.
== Operaciones con los números naturales ==
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