Diferencia entre revisiones de «Teoría de conjuntos»
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== Notación ==
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: <math>A</math>, <math>B</math>, <math>K</math>,...
Llamaremos ''elemento'', a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: <math>a</math>, <math>b</math>, <math>k</math>,...
De esta manera, si <math>~A</math> es un conjunto, y <math>~a, b, c, d, e</math> todos sus elementos, es común escribir:
:<math> ~A= \{a, b, c, d, e\} </math>
para definir a tal conjunto <math>~A</math>. Esta notación empleada para definir al conjunto <math> ~A </math> se llama ''notación por extensión''.
Para representar que un elemento <math>~x</math> pertenece a un conjunto <math>A</math>, escribimos <math>x\in A</math> (léase "<math>x</math> en <math>A</math>", "<math>x</math> pertenece a <math>A</math>" o bien "<math>x</math> es un elemento de <math>A</math>"). La negación de <math>x\in A</math> se escribe <math>x\notin A</math> (léase <math>~x</math> no pertenece a <math>~A</math>).
El [[conjunto universal]], que siempre representaremos con la letra <math>U</math> (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces <math>U</math> es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, <math>U</math> es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama ''[[conjunto vacío]]'' y que se denota por <math>\emptyset</math>. Es decir
:<math>\emptyset = \{\}</math>
La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles que no están contenidos en él, es decir
:<math>\forall x \quad x\notin\emptyset</math>.
Por otro lado, si todos los elementos <math>~x</math> de un conjunto <math>A</math> satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición <math>p\left( x\right)</math>, con la indeterminada <math>~x</math>, usamos la ''notación por comprensión'', y se puede definir:
:<math>~A=\{x\in U:p(x)\}</math>
Lo anterior se lee "<math>A</math> es el conjunto de elementos <math>x</math>, que cumplen la propiedad <math>p(x)</math>". El símbolo "''':'''" se lee "que cumplen la propiedad" o "tal que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra <math>\mid</math>.
Por ejemplo, el conjunto <math>~A= \{1, 2, 3, 4\}</math> puede definirse por:
: <math>~A= \{n\in\mathbb N: 1\leq n\leq 4\} </math>
donde el símbolo <math>\mathbb{N}</math> representa al conjunto de los [[números naturales]].
== Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos ==
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Dos conjuntos <math>~A</math> y <math>~B</math> se dicen ''iguales'', lo que se escribe <math>~A = B </math> si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de <math>A</math> está también contenido en <math>B</math> y todo elemento de <math>B</math> está contenido en <math>A</math>. En símbolos:
:<math>\forall x, x\in A\iff x\in B</math>
===Subconjuntos y Superconjuntos===
[[Image:Venn A subset B.png|thumb|300px|Diagrama de Venn que muestra <math>A\subseteq B</math>]]
Un conjunto <math>~A</math> se dice que es ''subconjunto'' de otro <math>~B</math>, si cada elemento de <math>~A</math> es también elemento de <math>~B</math>, es decir, cuando se verifique:
: <math>x\in A\Rightarrow x\in B </math>,
sea cual sea el elemento <math>~x</math>. En tal caso, se escribe <math>A\subseteq B</math>.
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si <math>A\subseteq B </math>, se cumpla <math>A = B\,</math>. Si <math>~B</math> tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto <math>~A</math>, pero si todo elemento de <math>~A</math> es elemento de <math>~B</math>, entonces decimos que <math>~A</math> es un ''subconjunto propio'' de <math>~B</math>, lo que se representa por <math>A\subset B</math>. En otras palabras, <math>A\subset B</math> si y sólo si <math>A\subseteq B</math>, y <math>B\setminus A\ne \emptyset</math>. Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto <math>A</math> es ''subconjunto impropio'' de sí mismo.
Si <math>~A</math> es un subconjunto de <math>~B</math>, decimos también que <math>~B</math> es un ''superconjunto'' de <math>~A</math>, lo que se escribe <math>B\supseteq A</math>. Así pues
:<math>B\supseteq A\iff A\subseteq B</math>,
y también que:
:<math>B\supset A\iff A\subset B</math>,
significando <math>B\supset A</math> que <math>~B</math> es ''superconjunto propio'' de <math>~A</math>.
Por el principio de identidad, es siempre cierto <math>x\in A\Rightarrow x\in A </math>, para todo elemento <math>~x</math>, por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.
Vemos que <math>\subseteq</math> es una [[relación de orden]] sobre un conjunto <math>~S</math> de conjuntos, pues
:{|
| <math> A\subseteq A</math>
|
|
| (<math> \subseteq</math> es ''reflexiva'')
|-
| <math> A\subseteq B\wedge B\subseteq A </math>
| <math> \qquad\Rightarrow\qquad </math>
| <math> A=B \, </math>
| (<math>\subseteq</math> es ''antisimétrica'')
|-
| <math> A\subseteq B\wedge B\subseteq C </math>
| <math> \qquad\Rightarrow\qquad </math>
| <math> A\subseteq C </math>
| (<math> \subseteq</math> es ''transitiva'')
|}
== Operaciones con conjuntos ==
Sean <math>~A</math> y <math>~B</math> dos conjuntos.
=== Unión <math>\cup</math> ===
[[Image:Venn0111.svg|thumb|300px|Diagrama de Venn que ilustra <math>A\cup B</math>]]
Para cada par de conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> existe un conjunto [[Unión]] de los dos, que se denota como <math>A\cup B</math> el cual contiene todos los elementos de <math>A</math> y de <math>B</math>. De manera más general, para cada conjunto <math>S</math> existe otro conjunto denotado como <math>\bigcup S</math> de manera que sus elementos son todos los <math>x\in X</math> tales que <math>X\in S</math>. De esta manera <math>A\cup B</math> es el caso especial donde <math>S=\{A,B~\}</math>.
Es claro que el hecho de que un elemento <math>x</math> pertenezca a <math>A\cup B</math> es condición necesaria y suficiente para afirmar que <math>x</math> es un elemento de <math>A</math> o al menos de <math>B</math>. Es decir
:<math>x\in(A\cup B)\iff(x\in A)\vee(x\in B)</math>
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
:<math>~A= \{\triangle, \bigcirc, 6\} </math>
:<math>~B= \{\star, 6, \dagger, \square\} </math>
:<math>~C= \{\square, 14, \star, \clubsuit\} </math>
:<math>~S=\{A,B,C\}</math>
Entonces
:<math>A\cup B = \{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square\} </math>
:<math>A\cup C = \{\triangle,\bigcirc,6,\square,14,\star,\clubsuit\} </math>
:<math>\bigcup S=\{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square,14,\clubsuit\}</math>
:<math>~A \cup \emptyset= A </math>
:<math>~A \cup A = A </math>
===Intersección ∩ ===
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