Diferencia entre revisiones de «Tensor de energía-impulso»
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Alguien se había tomado la molestia de cambiar "energía-impulso" por "impulso", eliminar una imagen y rebautizar al tensor como "tensor de energía para un posible viaje en el espacio". He deshecho estas ediciones manualmente. |
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[[Archivo:Interacción de la gravedad.png|thumb|250px|right|En [[relatividad general]] la [[curvatura del espacio-tiempo]] viene dada por el '''tensor de energía-impulso'''.]]
El '''tensor de tensión-energía''',
== Introducción ==
Fijado un conjunto de coordenadas o una base <math> \scriptstyle \{ {\mathbf{e}}^0, {\mathbf{e}}^1, {\mathbf{e}}^2, {\mathbf{e}}^3 \}</math> en cada punto del espacio-tiempo (los elementos de esta base sería matemáticamente [[1-forma]]s), el tensor energía-impulso es un tensor de rango 2 que puede describirse como una matriz del tipo:
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</math>
||left}}
[[Archivo:StressEnergyTensor contravariant.svg|right|250px|thumb|Interpretación usual de las componentes contravariantes del tensor energía-impulso.]]
Donde en la expresión anterior se ha usado el [[convenio de sumación de Einstein]]. Si consideramos ahora un [[observador]] que se mueve con [[cuadrivelocidad]] <math>\scriptstyle \mathbf{u} = u^\alpha\mathbf{e}_\alpha</math> tenemos que la densidad de energía medida en un punto <math>\scriptstyle \mathbf{x}</math> por dicho observador viene dada por:
{{ecuación|
<math>e = T_{\alpha\beta}(\mathbf{x})\frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} </math>
||left}}
Y el flujo de energía a través de una superficie (de tipo espacial y en reposo respecto al observador) cuyo vector normal venga dado por <math>\scriptstyle \mathbf{n}</math> viene dado por:
{{ecuación|
<math>-T_{\alpha\beta}(\mathbf{x}) u^\alpha n^\beta </math>
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-->
=== Ley de conservación
En el contexto de la teoría de la relatividad, la ley de conservación de la energía y la ley de conservación de la cantidad de movimiento pueden expresarse de manera muy simple en términos del tensor de energía-impulso. Concretamente ambas leyes pueden escribirse conjuntamente como una [[ecuación de continuidad]] del tipo:
{{ecuación|
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== Ejemplos ==
* En teoría de la relatividad el tensor energía-impulso de un [[fluido perfecto]] es expresable en términos de su cuadrivelocidad, densidad másica y presión:
{{Ecuación|
<math>T_{\mu\nu}= \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right) u_\mu u_\nu + p g_{\mu\nu}</math>
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== Diferentes tipos de tensor energía-impulso ==
Existen diversas formas no equivalentes de definir el tensor tensión para la materia ordinaria. Entre las más comunes se encuentra:
* El tensor energía-impulso de Hilbert.
* El tensor energía-impulso canónico.
* El tensor energía-impulso de Belifante-Rosenfelder.
=== Tensor energía-impulso de Hilbert ===
Este tipo de tensor energía-impulso sólo puede ser definido para un sistema que venga descrito por un lagrangiano relativista en forma de derivada funcional:
{{ecuación|
<math>T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\mathcal{L}_{\mathrm{matter}} \sqrt{-g}) }{\delta g_{\mu\nu}} = 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{matter}}{\delta g_{\mu\nu}} + g^{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{matter}.</math>
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donde <math>\mathcal{L}_{\mathrm{matter}}</math> es la [[Lagrangiano|densidad lagrangiana]] de la materia, que aparece en la [[acción (física)|integral de acción]], para la parte gravitatoria no es posible definir un tensor análogo. Este tensor en un amplio conjunto de circunstancias es simétrico e [[teoría gauge|invariante ''gauge'']].
=== Tensor energía-impulso canónico ===
Este tensor resulta de la aplicación del [[teorema de Noether]]. Si las traslaciones espacio-temporales locales son una simetría local del lagrangiano, la corriente conservada asociada a dicha simetría es el tensor energía-impulso canónico. Este tensor no resula ser simétrico para algunas teorías de gauge, y por tanto puede no ser invariante guage bajo transformaciones de gauge locales que no conmuten con las traslaciones espacio-temporales.
En [[relatividad general]], las traslaciones sólo se pueden escribir en términos de coordenadas por lo que en general no presentan covariancia.
=== Tensor energía-impulso de Belinfante–Rosenfeld ===
En presencia de espín u otro tipo de momento angular intrínseco, el tensor energía-impuso canónico de Noether no es simétrico como fue anticipado en la sección anterior. El tensor de Belifante-Rosenfeld es una construcción a partir del tensor canónico y la corriente conservada de espín de tal manera que se obtiene un nuevo tensor simétrico y que se conserva. En relatividad general, este tensor modificado coincide con el tensor energía-impulso de Hilbert.
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