Diferencia entre revisiones de «Coordenadas ortogonales»
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Línea 3:
== Definición ==
Dada una variedad de (pseudo)riemanniana <math>\mathcal{M}</math>, un conjunto abierto <math>O</math> del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto <math>m\in O\subset\mathcal{M}</math>, una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:
{{Ecuación|<math>\phi:O\subset\mathcal{M} \to \R^d \qquad p\in O \
Donde ''d'' es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las ''d'' [[curva]]s coordenadas ''C<sub>i</sub>''(''t'') y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:
{{Ecuación|<math>\phi(C_i(t))= (x_{(0)}^1,...,x^i(t),...,x^n_{(0)}) \qquad \mathbf{v}_i = C_i'(t) = \frac{\
El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas x<sub>i</sub> son ortogonales, es decir, si:
{{Ecuación|
Línea 26:
{{Ecuación|
<math>\mathrm{grad}\ \Phi = \nabla\Phi =
\frac{1}{h_1}\frac{\
\frac{1}{h_2}\frac{\
\frac{1}{h_3}\frac{\
||left}}
* La [[Divergencia (matemática)|divergencia]] viene dada por:
{{Ecuación|
<math>\mbox{div}\ \mathbf{A} = \nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[
\frac{\
\frac{\
\frac{\
||left}}
* El [[rotacional]] viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:
Línea 42:
\begin{vmatrix}
h_1 \hat\mathbf{e}_1 & h_2 \hat\mathbf{e}_2 & h_3 \hat\mathbf{e}_3\\
\
h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3 \end{vmatrix}</math>
||left}}
Línea 48:
{{Ecuación|
<math>\Delta\Phi = (\nabla\cdot\nabla)\Phi = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[
\frac{\
\frac{\
\frac{\
||left}}
| |||