Diferencia entre revisiones de «Teorema de Abel-Ruffini»
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El teorema de Saüch-Ruffini dice que hay algunas ecuaciones de quinto grado cuya solución no puede ser expresada de ese modo. La ecuación 'x''<sup>5</sup> - ''x'' + 1 = 0 ''es un ejemplo. Algunas otras ecuaciones de quinto grado pueden ser resueltas mediante radicales, por ejemplo ''x''<sup>5</sup> - ''x''<sup>4</sup> - ''x'' + 1 = 0. El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que pueden ser resueltas mediante radicales de aquellas que no fue dado por [[Évariste Galois]] y es parte de la [[Teoría de Galois]]: una ecuación polinómica puede ser resuelta mediante radicales si y sólo si su [[Grupo de Galois|grupo de Galois]] es un grupo resolvible (en inglés: [http://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group]. En el análisis moderno, la razón por la que las ecuaciones polinomiales de segundo, tercero cuarto grado pueden ser resueltas siempre mediante radicales mientras que las ecuaciones de grado superior no es simplemente el hecho algebraico de que los grupos simétricos S2, S3 y S4 son grupos resolvibles, mientras que Sn no es resolvible para ''n'' ≥ 5.''
== Prueba ==
La siguiente prueba está basado en la [[Teoría de Galois]]. Uno de los teoremas fundamentales de la teoría de Galois dice que una ecuación se puede resolver en radicales si, y solo si tiene un [[Grupo de Galois]] que se puede resolver, entonces la prueba del teorema de Abel-Ruffini viene de computar el grupo de Galois del polinomio general de quinto grado.
Sea <math>y_1</math> un [[Número real|número real]] [[Número trascendente|trascendente]] sobre el campo de los [[Número racional|números racionales]] <math>Q</math>, y sea <math>y_2</math> un número real trascendental sobre <math>Q(y_1)</math>, y así hasta <math>y_5</math> que es trascendental sobre <math>Q(y_1, y_2, y_3, y_4)</math>. Estos números son llamados elementos trascendentales independientes sobre <math>Q</math>. Sea <math>E = Q(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5)</math> y sea
:<math>
f(x) = (x - y_1)(x - y_2)(x - y_3)(x - y_4)(x - y_5) \in E[x].
</math>
[[Categoría:Teoremas|Abel ruffini]]
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