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Diferencia entre revisiones de «Tangente (geometría)»

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{{otrosfusionar usosen|tangente|este=el concepto enTangente [[(geometría]])}}
El problema de la recta tangente a una curva, pudo resolverse, planteando que tal recta es la posición límite de las rectas secantes de la curva que pasan por un punto fijo y los otros se acercan a tal punto. Un nuevo recurso: la pendiente de un ángulo de inclinación como derivada.
[[Archivo:Lineas del circulo.svg|right|250px|thumb|en verde: línea tangente<br />en azul: línea secante<br />en rojo: cuerda]]
'''Tangente''' proviene del [[latín]] «''tangens''»=''que toca''.<ref>Real Academia Española, 2001</ref> La tangente a una curva en un punto P, es una recta que toca a la curva solo en dicho punto llamado ''punto de tangencia''. Se puede decir que la tangente «forma un ángulo nulo» con la curva en la vecindad de dicho punto. Esta noción se puede generalizar, desde la [[recta tangente]] a un círculo o una curva, a «figuras tangentes» en dos dimensiones (es decir, figuras geométricas con un único punto de contacto, por ejemplo la [[circunferencia inscrita]]), hasta los [[Espacio tangente|espacios tangentes]], en donde se clasifica el concepto de «tangencia» en más dimensiones.
 
== Geometría en el planoConsideración ==
[[Archivo:Tangent animation.gif|miniaturadeimagen|250px|La recta secante se aproxima a la recta tangente siempre que <math>\Delta x \to 0</math>.]]
[[Archivo:cuerdas.png|right]]
Sea la curva dada por la función y = f(x) definida y continua en un intervalo (a;b) = I
 
: Sea el punto P(x; f(x)) de dicha curva con x elemento de I.
=== Recta tangente a una curva ===
: Consideremos un incremento Δx ≠ 0 del argumento x, de modo que x+Δx esté también en I. Sea el punto Q (x+Δx; f(x+Δx))
Una recta es tangente a una curva en un punto común si en dicho punto tiene la misma pendiente que la curva. La recta tangente es un caso particular de [[espacio tangente]] a una [[variedad diferenciable]] de dimensión 1, <math>\R^1</math>.
: la recta QP que une estos dos puntos se denomina '''recta secante''' de la curva.<ref>Concepción Valdés Castro: ''Análisis matemático''' tomo IIEditorial Pueblo y Educación, La habana, 1º reimpresión 2001 </ref> el punto p lo consideramos fijo, luego el ángulo que forma la recta secante con el eje Ox es una función de Δx, lo representamos con φ(Δx).
;Definición
Se llama '''recta tangente''' a la curva definida por y = f(x) en el punto P, a la posición límite, si existe, cuando las secantes PQ<sub>i</sub> se acercan al punto fijo P ( o equivalentemente Δx → 0).
 
; Determinación de la recta tangente
===Construcción Geométrica===
Para determinar la recta tangente en un punto P(x,f(x)) basta conocer su ángulo de inclinación, esto es:
Intuitivamente, la tangente ''T<sub>A</sub>'' es la posición límite de la recta o el límite de las rectas secantes a la curva ''C'', que pasan por los puntos ''A'' y ''M<sub>i</sub>'' cuando se aproximan indefinidamente por M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, M<sub>3</sub>, M<sub>4</sub> ...
 
:::::lim φ(Δx) = φ<sub>0</sub> cuando Δx → 0.
===Construcción analítica===
{{AP|Derivada#Cociente de diferencias de Newton|l1=Derivada}}
 
:Para hallar este ángulo podemos emplear su tangente trigonométrica, en otros términos ''la pendiente'' ( inclinación angular) de la recta tangente. O sea:
Analíticamente, si ''C'' viene dada por una función ''f(x)'', tal que, <math>A=(a,f(a))</math> y <math>M_i=(m_i,f(m_i))</math>, entonces la recta <math>AM_i</math> cuando <math>\lim_{i\to \infty} m_i=a</math> tendrá como coeficiente director o pendiente:
: <math>
\lim_{m_i \to a} \frac {f(m_i) - f(a)} {m_i - a}
</math>
 
::::: <math>\lim_{\Delta x \to 0} {\phi (\Delta x)} = \phi_0 </math>
Que por definición es <math>f'(a)</math> la [[función derivada|derivada]] de f en a.
 
:::: <math> tan \phi (\Delta x) = \frac{ \Delta y}{\Delta x } </math>
La recta tangente, <math>T_A</math>, a la función es:
: <math>
T_A(x) = f'(a)(x - a) + f(a)
</math>
 
:::: <math>tan \phi ( \Delta x) = \lim_{\Delta x \to 0} {f(x + \Delta x) - f(x) \over \Delta x } </math>
[[Archivo:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg|derecha|250px]]
 
::::: Si en el punto x existe la recta tangente ( no vertical) a la curva entonces existe el límite
=== Circunferencias tangentes ===
{{AP|Problema de Apolonio}}
ponemos circunferencia de centro <math> C_i \; </math> y radio <math> r_i \; </math>, es tangente en un punto <math> P \; </math> a otra circunferencia de centro <math> C_j \;</math> y radio <math> r_j \; </math> si el los dos centros de las circunferencias y el punto de tangencia están sobre la misma recta, y el punto <math> P \; </math> de tangencia es la intersección de las dos circunferencias.
 
:::::<math>\lim_{\Delta x \to 0} tan \phi(\Delta) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y }{\Delta x} = tan \phi_0</math>
Así partiendo de una circunferencia y un punto '''P''', de la misma, trazando una recta que pase por el centro de la circunferencia y el punto '''P''', cualquier circunferencia con centro en esta recta, que pase por '''P''', será tangente a la circunferencia dada en ese punto.
 
::::: Y podemos obtener el ángulo <math>\phi_0 </math> como el arco tangente:
{{clear}}
 
::::: <math>\phi_0 = arctan {\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y }{\Delta x}} </math>
=== Circunferencia tangente a una recta ===
[[Archivo:CircunferenciasTangentes.svg|derecha|300px]]
Dada una recta '''r''' y un punto '''P''' de la misma, trazando la perpendicular a la recta '''r''' por '''P''', cualquier circunferencia con centro en esta perpendicular que pase por '''P''' es tangente a '''r''' en el punto '''P'''.
 
::: Finalmente,para la ecuación de la recta tangente, nos interesa la pendiente ''m'', que no es sino el límite <math> \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y }{\Delta x} </math>, pues, además se conoce el punto de tangencia P(x, f(x)).
Por el razonamiento inverso podemos trazar la recta tangente a una circunferencia en un punto '''P''' dado. Su ecuación se llama [[ecuación de la desdoblada]].
 
{{clear}}
 
; Ejemplo
== Plano tangente ==
{{AP|Espacio tangente}}
[[Archivo:Tangentialvektor.svg|right|180px]]
En [[geometría diferencial]], '''espacio tangente''' es el conjunto asociado a cada punto de una [[variedad diferenciable]] formado por todos los vectores tangentes a dicho punto. Es un [[espacio vectorial]] de la misma [[dimensión]] que la [[dimensión]] de la variedad.
 
== Referencias y notas ==
Hay varias formas de entender este concepto. Primero vamos a explicar utilizando la gráfica de al lado. Empecemos suponiendo que tenemos una curva
<math>\scriptstyle \gamma</math> en la variedad ''M'' que pasa por alguna posición elegida cualquiera: <math>\scriptstyle x\in M</math>. Es decir un [[Función matemática|mapeo]] <math>\scriptstyle \gamma\ :\ ]-\varepsilon,\varepsilon[\to M</math> [[diferenciable]] que satisface <math>\scriptstyle \gamma(0)=x</math> y <math>\scriptstyle \gamma'(0)=v</math>. Resulta que el conjunto de todos estos vectores forman el espacio tangente <math>\scriptstyle T_xM</math> de ''x'' en ''M''.
 
== Véase también ==
* [[Recta normal]]
 
== Notas y referencias ==
{{listaref}}
 
== BibliografíaFuentesbibliográfica ==
* Leithold Cálculo con geometría analítica
* {{Springer|título=Recta tangente|id=Tangent_line&oldid=14413}}
* Haaser Lasalle Sulivan Análisis matemático I
* {{MathWorld|TangentLine|Recta tangente}}
* Spivak Calculus
 
== Enlaces externos ==
* [https://web.archive.org/web/20120419160321/http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=tangencia1 ''Recta tangente a una circunferencia''], «El paraíso de las matemáticas», sitio interactivo.
 
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