Diferencia entre revisiones de «Matriz definida positiva»
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En el [[álgebra lineal]], una '''matriz definida positiva''' es una [[matriz hermitiana]] que en muchos aspectos es similar a un [[número real]] positivo, también puede tratarse de una matriz simétrica real cuyos menores principales son positivos ([[James Joseph Sylvester|Criterio de Sylvester]]).
== Definiciones equivalentes ==
▲Una [[matriz hermitiana]] <math>A</math> se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguiente formulaciones equivalentes:
{| cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
|valign="top"| '''1.''' ||
:<math>\textbf{z}^{*} M \textbf{z} > 0</math>.
Nótese que <math>z^{*} M z</math> es siempre real.
|-
|valign="top"| '''2.''' || Todos los [[autovalor]]es <math>
|-
|valign="top"| '''3.''' || La función
|valign="top"| '''3.''' ||Todos los [[menores principales]] de <math>A</math> son positivos, esto resulta de la segunda proposición del [[Criterio de Sylvester|Criterio de Sylvester.]]▼
:<math>\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}</math>
define un [[producto interno]] <math>\mathbb{C}^n</math>.
|-
▲|valign="top"| '''
* la superior izquierda de M de dimensión 1x1
* la superior izquierda de M de dimensión 2x2
* la superior izquierda de M de dimensión 3x3
* ...
* la superior izquierda de M de dimensión (n-1)x(n-1)
* <math>M</math> en sí misma
|-
|valign="top"| ||Para matrices semidefinidas positivas, todos los [[menores principales]] tienen que ser no negativos.
|}
Análogamente, si ''M'' es una matriz real [[matriz simétrica|simétrica]], se reemplaza <math>\mathbb{C}^n</math> por <math>\mathbb{R}^n</math>, y la conjugada transpuesta por la transpuesta.
== Propiedades ==
* Toda matriz definida positiva es invertible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva.
* Si <math>
* Si <math>
* Toda matriz definida positiva <math>M</math>, tiene al menos una matriz [[raíz cuadrada de una matriz|raíz cuadrada]] <math>N</math> tal que <math>N^2 = M</math>.
== Matrices definidas negativas, semidefinidas positivas e indefinidas ==
La matriz hermitiana <math>
* '''definida negativa''' si <math>x^{*} M x < 0\,</math><!-- The \, is to keep the formula rendered as PNG instead of HTML. Please don't remove it.--> para todos los vectores <math>x \in \mathbb{R}^n</math> (ó <math>\mathbb{C}^n</math>) no nulos
* '''semidefinida positiva''' si <math>x^{*}
* '''semidefinida negativa''' si <math>x^{*}
== Caso no hermitiano ==
▲<math>A </math> se dice '''indefinida''' si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.
Una matriz real ''M'' puede tener la propiedad ''x''<sup>T</sup>''Mx'' > 0 para todo vector real no nulo sin ser [[matriz simétrica|simétrica]]. La matriz
:<math> \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} </math>
es un ejemplo. En general, tendremos ''x''<sup>T</sup>''Mx'' > 0 para todo vector real no nulo ''x'' si la [[matriz simétrica]] (''M'' + ''M''<sup>T</sup>) / 2, es definida positiva.
== Enlaces externos ==
* {{springer|title=Positive-definite form|id=p/p073880}}
* {{MathWorld|PositiveDefiniteMatrix|Positive Definite Matrix}}
{{Control de autoridades}}
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