Diferencia entre revisiones de «Topología usual»
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Es un resultado conocido del Análisis Matemático que todas las [[Norma (matematicas)|normas]] sobre <math>\mathbb{R}^n</math> son equivalentes, esto quiere decir que todas las [[Métrica (matemáticas)|métricas]] asociadas a normas de Rn inducen a la misma [[topología]] (colección de [[Conjunto abierto|abiertos]]), es decir, que todas las normas sobre <math>\mathbb{R}^n</math> dan lugar a los mismos abiertos. El conjunto de estos abiertos es una topología y se le conoce como '''topología usual'''.<ref>{{Cita web|url=https://www.ecured.cu/Topolog%C3%ADa_usual_de_%27%27%27R%27%27%27|título=}}</ref>
Puntualizar que esto no es extensible a cualquier métrica, sino a las asociadas a las normas. Concretamente se tiene que la <u>topología usual</u> sobre <math>\mathbb{R}</math> es la [[topología inducida]] por la '''distancia usual''' de forma que <math>\tau_{d_{usual}} = \tau_{usual}</math>.
Al ser las [[Bola (matemática)|bolas abiertas]] para esta distancia los intervalos abiertos y acotados, entonces, se da que en el [[espacio topológico]] <math>(\mathbb{R},\tau_{usual})</math> los abiertos son las uniones arbitrarias de intervalos <math>x,y</math> con <math>x,y\in\mathbb{R} </math>.<ref>{{Cita web|url=https://www.matesfacil.com/topologia/abiertos/bolas-abiertos-topologia-usual.html|título=}}</ref>
Hay un resultado importante respecto a la topología usual. Al inducir la topología usual sobre un conjunto finito se obtiene la [[topología discreta]]. Esto es la [[Topología traza|topología inducida]] <math>\tau_{Y}=\{Y \cap A: A \in \tau\} </math> con Y el conjunto de los números naturales ℕ.<ref>{{Cita web|url=http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/to2009/topologian0305/APtopo2.pdf|título=}}</ref>
== Convergencia ==
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# Como se ha comentado antes en <math>(\mathbb{R},\tau_{usual})</math> los abiertos son los intervalos y sus uniones.
# En <math>\mathbb{R}^n, n\geq2</math> se puede considerar la topología usual como la inducida por <math>d_1,d_2,...</math> y en general por cualquier otra distancia asociada a una norma.
# Los abiertos son uniones de bolas abiertas.<ref>{{Cita web|url=https://www.matesfacil.com/topologia/abiertos/bolas-abiertos-topologia-usual.html|título=}}</ref>
== Véase También ==
* [[Topología discreta]]
* [[Topología cofinita]]
* [[Topología grosera]]
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