Diferencia entre revisiones de «Espacio de Hausdorff»
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*Todo espacio métrico es de Hausdorff.<ref name="mtf"></ref>
*En un espacio de Hausdorff, los puntos distintos son [[Indistinguibilidad topológica|topológicamente distinguibles]].<ref>{{cita publicación |apellidos=Sapiña |nombre=R. |título=Puntos indistinguibles |url=https://www.problemasyecuaciones.com/topologia/indistinguibles/puntos-topologicamente-indistinguibles-ejemplos.html |issn=2659-9899 |idioma=castellano |publicación=[https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y Ecuaciones]}}</ref>
== Ejemplos y Contraejemplos ==
# Todo [[Espacio métrico|Espacio Métrico]] <math>(X,d)</math> es Hausdorff. <u>Demostración</u>: Para que sea Hausdorff basta con probar que para todos los puntos ''x'' e ''y'' (<math>x\neq y</math>) existen 2 abiertos <math>G_x</math>, <math>G_y</math> (<math>x\in G_x , y\in G_y</math>) disjuntos (es decir <math>G_x \cap G_x =\phi</math>). Esto es trivial pues los espacios métricos están dotados de una [[distancia]] (por definición) y sabemos que una de las propiedades de las distancias es:<math>x,y \in X, \quad d(x,y)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = y</math>, luego existen esos abiertos <math>G_x</math>,<math>G_y</math> y termina la demostración.
# El conjunto de los números Reales con la topología usual<math>(\mathbb{R},\tau_{ususal})</math>. <u>La demostración</u> es igual a la anterior pues se da que la topología usual sobre <math>\mathbb{R}</math> es la [[topología inducida]] por la [[Distancia|distancia usual]], <math>\tau_{d_{usual}} = \tau_{usual}</math>.
# Un conjunto X con la [[topología discreta]] <math>(X,\tau_{discreta})</math>. <u>Demostración:</u> Basta con aplicar la definición de topología discreta, sabemos que en <math>\tau_{discreta}</math> todo elemento <math>\{x\}</math> con <math>x\in X</math> es un conjunto abierto, luego se da que es totalmente disconexa, veamos si cumple Hausdorff: ¿Para todo par de puntos x,y <math>x\neq y</math> existen dos abiertos <math>x\in G_x , y\in G_y</math> disjuntos? Sí pues todo elemento <math>x\in X</math> es abierto. Fin de la demostración.
# Un conjunto X con la [[Topología de los complementos numerables|topología conumerable]] <math>(X,\tau_{conumerable})</math> no es Hausdorff. La topología conumerable es la siguiente: <math>\tau_{conumerable} = \{ G\subseteq X : G^c numerable \quad (o \quad finito) \} \cup \{ \phi \}</math>luego tenemos que ver que para todo par de puntos x,y <math>x\neq y</math> existen dos abiertos <math>x\in G_x , y\in G_y</math> disjuntos. No es posible pues los abiertos son los complementarios de conjuntos numeradles, es decir que los abiertos son innumerables, luego se cortan, luego no son distintos. Fin de la demostración.
== Véase también ==
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*[[Espacio de Tíjonov|Espacio de Tíjonov (T<sub>3½</sub>)]]
*[[Espacio normal]]
*Topología usual
== Bibliografía ==
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