Diferencia entre revisiones de «Propiedades de los números enteros»
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{{otros usos|este=las propiedades algebraicas avanzadas de los números enteros|Número entero|una exposición básica}}
El [[conjunto]] de los '''[[números enteros]]''', provisto de las operaciones de [[
==
Los números enteros
::<math>\N \subset \Z \subset \Q \subset \R \subset \C</math>,
formada de izquierda a derecha por los naturales, los enteros, los racionales, los [[Número real|reales]] y los [[Número complejo|complejos]].
Existen [[infinito]]s números enteros. Aunque a simple vista hay más números enteros que [[Número natural|naturales]], en realidad es posible poner ambos conjuntos en [[Biyección|correspondencia biyectiva]], lo que significa que ambos conjuntos tienen la misma [[cardinalidad]]. Se denomina a este cardinal <math>\aleph_0</math>, y es el menor cardinal infinito. Es el cardinal de los [[Conjunto numerable|conjuntos numerables]], en particular <math>\Z</math> es numerable.<ref>Trejo: "El concepto de número"</ref>
La correspondencia puede expresarse por medio de una [[Sucesión matemática|sucesión]] que contenga todos los enteros, por ejemplo
El hecho de que <math>\Z</math> se pueda poner en correspondencia con un [[subconjunto propio]] suyo significa que es un [[conjunto infinito-Dedekind]].
== Construcción formal de los enteros a partir de los naturales ==
=== Construcción como clases de diferencias ===
Un número entero [[Número negativo|negativo]] puede ser definido mediante la [[Resta|diferencia]] de dos [[Número natural|números naturales]]. Por ejemplo
Formalmente, decimos que los pares <math>(a, b)</math> y <math>(c, d)</math> son equivalentes (es decir, se asocian al mismo número entero), lo que se denota como <math>(a, b) \sim (c, d)</math> si y solo si:
{{Ecuación|<math>
La relación <math>\sim</math> es una [[relación de equivalencia]] que produce en <math>\mathbb{N}\times\mathbb{N}</math> una [[Partición (matemática)|partición]] en [[Clase de equivalencia|clases de equivalencia]], cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:▼
▲La relación <math>\sim</math> es una [[relación de equivalencia]] que produce en <math>\mathbb{N}\times\mathbb{N}</math> una [[Partición (matemática)|partición]] en [[Clase de equivalencia|clases de equivalencia]], denotadas con corchetes como en <math>[(5,8)]</math>, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:
:::<math>~[(4,7)]=[(2,5)]=[(5,8)]=[(1,4)]=-3</math>
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{{Ecuación |<math>\mathbb{Z}=\left(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\right) /\sim</math>. |3}}
=== Definición de la adición y la multiplicación
Se define la adición (<math>+</math>) sobre <math>\mathbb{Z}</math> como
::<math>~[(a,b)]
teniendo previamente definida la adición sobre <math>\mathbb{N}</math>. La definición anterior no depende de los representantes <math>a,b,c,d \,</math> escogidos puesto que
::<math>[(a,b)] = [(a', b')], \ </math> y <math>\ [(c,d)] = [(c', d')]</math>
entonces
::<math>a + b' = a' + b, \ </math> y <math>\ c + d' = c' +d</math>
luego
::<math>[(a',b')] + [(c', d')] = [(a' + c', b' + d')] = [(a + c, b + d)] = [(a,b)] + [(c, d)]</math>,
ya que
::<math>a' + c' + b + d = a + c + b' + d'</math>.
::<math>~[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd\ ,\ ad+bc)], \quad</math> para todo <math>a,b,c,d \in \mathbb{N}</math>
teniendo previamente definida la multiplicación sobre <math>\mathbb{N}</math>. La definición anterior está
=== El orden de los enteros ===
▲teniendo previamente definida la adición sobre <math>\mathbb{N}</math>. La definición anterior no depende de los representantes <math>a,b,c,d \,</math> escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:
Del mismo modo que los naturales están ordenados, es posible definir un [[orden total]] en los enteros. Dados dos enteros ''m=(a,b)'' y ''n=(c,d)'', se dice que ''m ≤ n'' (leido ''m'' es menor o igual que ''n'') si
▲:::<math>(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) \,</math>
::<math>a + d \leq c + b</math>,
respecto del orden en los números naturales.
Se puede comprobar que este orden extiende el orden de los naturales. Este orden no tiene [[cota superior]] ni inferior; informalmente, no hay un «número entero máximo» ni un «número entero mímimo». En consecuencia, no es un [[buen orden]], a diferencia del orden de los naturales.
== Estructura algebraica ==
=== Como grupo aditivo ===
▲::<math>~[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd\ ,\ ad+bc)]</math> | info=para todo <math>n\in \mathbb{N}</math>
Si consideramos solamente la adición, el conjunto de los enteros <math>( \mathbb{Z}, +)</math> es un [[grupo abeliano]]. Este grupo es [[Grupo cíclico|cíclico]] e infinito, y es de hecho el único grupo cíclico infinito, salvo [[isomorfismo de grupos]]. Es de una importancia fundamental en la [[teoría de grupos]], en especial de los grupos abelianos, y es usual denotarlo simplemente como <math>\Z</math>, donde la operación se sobreentiende.
Para cada entero ''n'', el [[elemento simétrico]] es su negativo, ''-n''. El [[elemento identidad]] del grupo es el número [[cero]], y es su propio negativo, el único entero con esta propiedad.
▲teniendo previamente definida la multiplicación sobre <math>\mathbb{N}</math>. La definición anterior está correctamente definida debido a que:
Todos los [[subgrupo]]s propios son de la forma <math>n \Z</math>, para algún entero positivo ''n''. En particular, son todos infinitos e isomorfos al propio <math>\Z</math>. El único subgrupo finito de <math>\Z</math> es el [[Grupo trivial|subgrupo trivial]] <math>\{ 0 \}</math>.
▲:::<math>(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc) \,</math>
La estructura de [[Grupo (matemáticas)|grupo]] implica que es posible definir la operación inversa de la suma, es decir, la [[resta]]. En consecuencia es posible resolver cualquier [[ecuación]] de la forma ''a + x = b'', lo que significa que siempre hay una solución entera para ''x'' y que además es única.
=== Como anillo ===
El conjunto de los números enteros con la [[adición]] y la [[multiplicación]] <math>( \mathbb{Z}, +, \times)</math> forma una [[estructura algebraica]] llamada [[anillo (matemáticas)|anillo]]. Este anillo posee las siguientes propiedades:
* es [[anillo unitario|unitario]], puesto que el ''1'' es el [[elemento identidad]] de la multiplicación.
* es [[Anillo conmutativo|conmutativo]], pues la multiplicación también es conmutativa: ''mn=nm'' para todo par de enteros ''m'' y ''n''.
* es un [[dominio de integridad]], ya que no tiene [[Divisor de cero|divisores de cero]]: si ''mn = 0'' entonces necesariamente ''m=0'' o bien ''n=0''.
* es un [[dominio de factorización única]], todo elemento se descompone de manera única (salvo producto por unidades y orden) como producto de elementos irreducibles. En particular este resultado se conoce como [[teorema fundamental de la aritmética]].
* todo par de elementos tiene [[máximo común divisor]] y [[mínimo común múltiplo]], y se verifica la [[identidad de Bezout]].
* es un [[dominio de ideales principales]]: todo [[Ideal de un anillo|ideal]] está generado por un único elemento, el máximo común divisor de sus elementos. Todos los ideales son de la forma <math>n \Z</math>, para algún entero positivo ''n''; en concreto todos los subgrupos (respecto de la adición) son ideales. Cada uno de estos ideales propios es en sí mismo un anillo conmutativo (sin unidad).<ref>Sadosky: "Introducción al álgebra"</ref>
* es un [[dominio euclídeo]]: es posible definir un algoritmo de [[División euclídea|división con resto]].
* es un [[anillo ordenado]]: las operaciones algebraicas del anillo se comportan bien bajo el orden; de hecho es un anillo totalmente ordenado.
A diferencia de la suma, no todo número entero tiene [[inverso multiplicativo]]; en consecuencia no siempre es posible [[División (matemática)|dividir]] dos enteros. La [[divisibilidad]] de los enteros es una cuestión compleja, central en la [[teoría de números]]. Se dice que ''a'' divide a ''b'' si existe un entero ''n'' tal que ''an = b''; tal caso se denota como ''a | b''.
== Referencias ==▼
Los únicos enteros que tienen inverso multiplicativo son ''+1'' y ''-1'', que forman el [[Unidad (álgebra)|grupo de unidades]] del anillo (un grupo multiplicativo). En consecuencia, todo entero es divisible entre ''1'' y entre ''-1''. No obstante, es posible embeber <math>\Z</math> en un [[Cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] en el que todo entero (salvo el cero) es invertible: este cuerpo es el de los [[Numero racional|números racionales]]. La generalización de la construcción de los racionales sobre los enteros permite obtener el [[cuerpo de fracciones]] de cualquier anillo conmutativo. En particular los racionales son el cuerpo de fracciones de los enteros, en el que el inverso de ''n≠0'' es ''1/n''.
== Estructura métrica y topológica ==
* Con los enteros se puede construir una topología cofinita<ref>Munkres: "Topología"</ref>
* Un número entero es un punto aislado con la topología usual de la recta
* En la recta de los enteros cabe la traslación por el vector (m, n) y la simetría respecto de un centro arbitrario ( cualquier entero).<ref>Trejo y otros: "Matemáticas" cuarto curso</ref>
▲== Referencias ==
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=== Bibliografía ===
* {{Cita libro
| apellido = Lang
| nombre = Serge
| título = Algebra
| editorial = Springer
| edición = 3ª
| idioma = inglés
}}
{{Control de autoridades}}
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