Diferencia entre revisiones de «Producto semidirecto»
Contenido eliminado Contenido añadido
m →Definiciones equivalentes: matiz |
el grupo holomorfo |
||
Línea 24:
# <math>\forall g \in G </math> existen elementos <math> h\in H, n\in N</math> únicos tales que <math>g=hn</math>.
Sea ahora un [[subgrupo normal]] <math>N\triangleleft G</math>; se dice que <math>G</math> es un '''producto semidirecto''' de <math>N</math> y <math>Q</math>, escrito como <math>G = N \rtimes Q,</math> si <math>N</math> tiene un complemento <math>Q' \simeq Q</math> en <math>G</math>. En tal caso se dice que ''G se parte sobre N'' o que ''G se descompone sobre N''.{{sfn|Rotman|
No todo subgrupo normal tiene complemento, y si lo tiene, no tiene por qué ser necesariamente único. No obstante, todos los complementos de un subgrupo normal <math>N</math> son isomorfos entre sí, puesto que por los [[teoremas de isomorfía]]:
::<math>G/N = NQ/N \simeq Q/(N \cap Q)= Q / 1 \simeq Q</math>.
Dado un subgrupo normal <math>N \triangleleft G</math>, las siguientes proposiciones son equivalentes:{{sfn|Rotman|
# <math>G</math> es un producto semidirecto de <math>N</math> y <math>G/N</math>.
# <math>N</math> tiene un complemento <math>Q \subset G</math>.
Línea 44:
||left}}
* El [[grupo diedral]] de un polígono de <math>n</math> lados es un producto semidirecto de dos [[Grupo cíclico|grupos cíclicos]]: <math>D_n = C_n \rtimes C_2</math>. El homomorfismo <math>C_2 \to Aut \ C_n</math> queda totalmente descrito por la acción del elemento no nulo de <math>C_2</math>, que aquí invierte los elementos de <math>C_n</math> (la inversión es un automorfismo por ser <math>C_n</math> [[grupo abeliano|abeliano]]).
== El grupo holomorfo ==
Dado un grupo <math>G</math>, existe una extensión natural dada en forma de producto semidirecto. Puesto que el producto es con un grupo factor <math>K</math> sobre el que se define un homomorfismo <math>K \to Aut \ G</math>, resulta natural tomar <math>K = Aut \ G</math> con el homomorfismo identidad. Se define el '''holomorfo''' de <math>G</math>, denotado '''Hol(G)''', como el producto semidirecto{{sfn|Dummit\Foote|2004|p=179|ps=Véase el ejemplo 5.}}
::<math>Hol \ G \simeq G \rtimes Aut \ G</math>.
El grupo de automorfismos de <math>G</math> es un subgrupo del [[grupo simétrico]] de <math>G</math>, que contiene todas las biyecciones. En concreto, es posible identificar un subgrupo de este con el propio <math>G</math>, dado por la identificación con las funciones de multiplicación por la izquierda
::<math>G \simeq G^l = \{ \tau_g: x \mapsto gx \ | \ g \in G \} \subset S_G</math>.
Entonces, considerados ambos como subgrupos, se tiene que <math>G^l \cap Aut(G)=1</math>, y que <math>Hol(G) = G^l Aut(G)</math> (el producto de subconjuntos).{{sfn|Rotman|1999|p=164|ps=Aquí se da ésta como definición del holomorfo.}}
== Véase también ==
Línea 56 ⟶ 65:
* {{cita libro | apellido = Dummit | apellido2 = Foote | nombre = David S. | nombre2= Richard M. | título = Abstract Algebra | edición = 3ª | editorial = Wiley | año = 2004 | isbn = 978-81-265-3228-5 }}
* {{cita libro | apellido = Rotman | nombre = Joseph J. | título = An Introduction to the Theory of Groups | editorial = Springer | edición = 4ª | año =
* {{Cita libro | apellido = Brown | nombre = R. | título = Topology and groupoids | editorial =Booksurge | año = 2006 | isbn = 1-4196-2722-8}}
| |||