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La [[lógica de predicados]] contiene los [[axioma]]s estándar para la igualdad que formalizan la [[Identidad de los indiscernibles|ley de Leibniz]], propuestos por el filósofo [[Gottfried Leibniz]] en el siglo XVII. La idea de Leibniz era que dos cosas son idénticas si y solamente si tienen exactamente las mismas [[propiedad (lógica)|propiedad]]es. Para formalizar esto, debemos poder decir:
 
:dados cualesquiera <math>x\,</math> y <math>y\,</math>, <math>x = y\,</math> si y solamente si, dado cualquier [[predicado (lógica matemática)|predicado]] <math>P\,</math>, <math>P(x)\,</math> si y sólosolo si <math>P(y)\,</math>.
 
Sin embargo, en la lógica de primer orden, no podemos cuantificar sobre predicados. Así, necesitamos utilizar un esquema de axioma:
 
:dados cualesquiera ''x'' y ''y'', si ''x'' es igual a ''y'', entonces ''P''(''x'') [[si y sólosolo si]] ''P''(''y'').
 
Este esquema de axioma, válido para cualquier predicado P en una variable, responde solamente por una dirección de la ley de Leibniz; si ''x'' y ''y'' son iguales, entonces tienen las mismas propiedades. Podemos garantizar la otra dirección simplemente postulando:
:dado cualquier x, x es igual a x.
 
Entonces si ''x'' e ''y'' tienen las mismas propiedades, entonces en particular son iguales con respecto al predicado ''P'' dado por ''P''(''z'') si y sólosolo si ''x'' = ''z'', puesto que ''P''(''x'') vale, ''P''(''y'') deben también valer, luego ''x'' = ''y'' dependiendo de la variable.
 
La relación contraria es una relación de diferencia, notada con un igual tachado: <math> \ne \,</math>