Oriundo de la comuna de [[Peumo]], Bustamante hizo sus primeras armas en la Escuela de Fútbol de [[Daniel Fabbiani]], hermano del exftubolista y seleccionado chileno [[Óscar Fabbiani]].<ref name=":0">{{Cita web|url=https://www.facebook.com/gralvelasquez/posts/1714045105305887|título=Club Deportivo General Velásquez|fechaacceso=2021-01-22|sitioweb=www.facebook.com|idioma=en}}</ref> Tras un paso por las divisiones inferiores de [[Club Deportivo O'Higgins|O'Higgins]], ficha el año [[2015]] por [[Club Social y Deportivo San Antonio Unido|San Antonio Unido]], para al año siguiente fichar por [[Deportes Magallanes|Magallanes]].
En 2018, Bustamante firma por [[Club Deportivo General Velásquez|General Velásquez]],<ref name=":0" />, cuadro del cual es reconocido hincha. Al año siguiente, da el salto a la [[Primera B de Chile|Primera B Chilena]], firmando por [[Club de Deportes Puerto Montt|Deportes Puerto Montt]].<ref>{{Cita web|url=https://twitter.com/DPMChile/status/1078403223394889728|título=Tercer refuerzo del #Velero}}</ref> Su buen juego, sumado a sus grande goles,<ref>{{Cita web|url=https://redgol.cl/chile/Colo-Colo-Byron-Bustamante-de-ser-desechado-por-Gustavo-Quinteros-a-un-golazo-con-Deportes-Puerto-Montt-en-la-liguilla-de-Primera-B-20210121-0002.html|título=Byron Bustamante, de ser desechado por Gustavo Quinteros para Colo Colo a un golazo con Deportes Puerto Montt|fechaacceso=2021-01-22|apellido=Redgol|fecha=2021-01-21|sitioweb=RedGol|idioma=es-ES}}</ref> lo hicieron estar en el radar de [[Club Social y Deportivo Colo-Colo|Colo-Colo]], opción que no prosperó.<ref>{{Cita web|url=https://www.alairelibre.cl/noticias/deportes/futbol/puerto-montt/byron-bustamante-soy-consciente-de-los-acercamientos-pero-estoy/2020-12-01/105604.html|título=Byron Bustamante: Soy consciente de los acercamientos, pero estoy concentrado en Puerto Montt|fechaacceso=2021-01-22|apellido=Comunicaciones|nombre=Compañia Chilena de|sitioweb=alairelibre.cl|idioma=Spanish}}</ref>
