Diferencia entre revisiones de «Dualidad de Pontriaguin»

En [[matemáticas]], en particular en el [[análisis armónico]] y la teoría de [[Grupo topológico|grupos topológicos]], la '''dualidad de PontryaginPontriaguin''' explica las propiedades generales de la [[transformación de Fourier|transformada de Fourier]]. Pone en un contexto unificado un número de observaciones sobre funciones en la recta real o en grupos abelianos finitos, vg.

La teoría, introducida por [[Lev PontryaginPontriaguin]] y combinada con la [[medida de Haar]] introducida por [[John von Neumann]], [[André Weil]] y otros depende de la teoría del [[grupo dual]] de un grupo abeliano [[compacidad local|localmente compacto]].

Más precisamente, la construcción dual del grupo ''G^'' de ''G'' es un [[funtor]] contravariante (.)^ : '''LCA''' <tt>-></tt> '''LCA'''^op permitiendo que identifiquemos la [[Teoría de categorías|categoría]] LCA de [[Grupo topológico|grupos topológicos]] abelianos localmente compactos con su propia categoría opuesta. Tenemos ''G^^'' isomorfo a ''G'', de un modo natural que es comparable al doble dual de los espacios vectoriales finito-dimensionales (un caso especial, para los espacios vectoriales reales y complejos). La dualidad intercambia las [[subcategoría]]s de grupos discretos y de grupos compactos. Si ''R'' es un anillo y ''G'' es un ''R''-módulo izquierdo, el grupo dual ''G^'' se convertirá en un ''R''-módulo derecho; de esta manera podemos también ver que los ''R''-módulos izquierdos discretos serán dual de PontryaginPontriaguin de los R-módulos derechos compactos. El anillo ''End(G)'' de endomorfismos en LCA es cambiado por la dualidad en su anillo opuesto (cambia la multiplicación al orden opuesto). Por ejemplo, si ''G'' es un grupo discreto cíclico infinito, ''G^'' es un grupo del círculo: el primero tiene ''End(G)'' = '''Z''' por tanto también ''End(G^)'' = '''Z'''.

Un uso hecho de la dualidad de PontryaginPontriaguin es dar una definición general de una [[función casi-periódica]] en un grupo no compacto ''G'' en '''LCA'''. Para esto, definimos la compactificación ''B(G)'' de Bohr de ''G'' como ''H^'', donde H es como grupo G^, pero dándole la topología discreta. Puesto que ''H'' <tt>-></tt> ''G^'' es continuo y un homomorfismo, el morfismo dual ''G'' <tt>-></tt> ''B(G)'' queda definido, y realiza ''G'' como subgrupo de un grupo compacto. La restricción a ''G'' de las funciones continuas en ''B(G)'' da una clase de funciones casi-periódicas; se puede imaginarlas como análogas a las restricciones a una copia de '''R''' ''enroscado'' alrededor de un toro.

Los fundamentos de la teoría de grupos abelianos localmente compactos y de su dualidad fueron sentados por [[Lev PontriaginPontriaguin]] en 1934. Su tratamiento se basó en grupos que eran [[segundo axioma de numerabilidad|segundo-contable]] y compactos o discretos. Esto fue mejorado para cubrir a los grupos abelianos localmente compactos en general por [[E.R. van Kampen]] en 1935 y [[André Weil]] en 1953.

* Grupos continuos Lev PontryaginPontriaguin