Diferencia entre revisiones de «Álgebra sobre un cuerpo»

En [[matemáticas]], un '''álgebra''' sobre un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] ''K'', o una '''K-álgebra''', es un [[espacio vectorial]] ''A'' sobre ''K'' equipado con una noción compatible de multiplicación de elementos de ''A''. Una generalización directa admite que ''K'' sea cualquier [[anillo conmutativo]].

# <math>u\cdot(v+w) = u\cdot v + u\cdot w</math>

Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier [[anillo unitario]] <math>R</math>: necesitamos un [[Módulo (matemáticas)|módulo]] <math>\mathcal{A}</math> sobre <math>R</math> y una operación bilineal sobre el espacio vectorial como la arriba descrita; entonces <math>\mathcal{A}</math> es una <math>R</math>-álgebra, y <math>R</math> es el ''anillo'' bajo <math>\mathcal{A}</math>.

Dos álgebras <math>\mathcal{A}</math> y <math>\mathcal{B}</math> sobre <math>\mathbb{K}</math> son '''isomorfas''' si existe una [[aplicación lineal]] biyectiva ''f'': <math>\mathcal{A} \to \mathcal{B}</math> tal que ''f'' ('''xy''') = ''f''('''x''')''f''('''y''') para todo '''x''', '''y''' en <math>\mathcal{A}</math>. Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.

Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de <math>\mathcal{A} \times \mathcal{A}</math> a <math>\mathcal{A}</math> está determinada totalmente por la multiplicación de los elementos de la [[base (álgebra)|base]] de ''A''. Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para <math>\mathcal{A}</math>, los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en <math>\mathcal{A}</math>, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el cuerpo ''K'', cualquier álgebra se puede especificar salvo un [[isomorfismo]] dando su [[Dimensión de un espacio vectorial|dimensión]] (digamos ''n''), y especificar los ''n''^''3'' ''coeficientes de estructura'' c_i,j,k, que son [[escalar (matemática)|escalares]]. Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en <math>\mathcal{A}</math> vía la regla siguiente:

Donde '''e'''₁,...'''e'''_n una base de ''A''. El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión ''n'' es un [[número infinito]], entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación). Observe, sin embargo, que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En [[física matemática]], los coeficientes de estructura se escriben a menudo ''c''_''i'',''j''^''k'', y se escribe usando el [[convenio de sumación de Einstein]] como

:'''e'''_''i'' '''e'''_''j'' = ''c'' _''i'',''j''^''k'' '''e'''_''k''.

Si se aplica esto a vectores escritos en [[notación de índice]], entonces se convierte en

: ('''xy''')^''k'' = ''c'' _''i'',''j'' ^''k'' ''x''^''i'' ''y''^''j''.

Si ''K'' es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si <math>\mathcal{A}</math> es un [[módulo libre]] sobre ''K''. Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un [[conjunto generador]] de <math>\mathcal{A}</math>; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no específica el álgebra módulo isomorfismo.

'''Un álgebra conmutativa''' es una en que la multiplicación es [[conmutatividad|conmutativa]]; un [[álgebra asociativa]] es una en que la multiplicación es [[asociatividad (álgebra)|asociativa]]. Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.

=== Álgebras asociativas ===

** el álgebra de todas las ''matrices'' ''n''-por-''n'' sobre el cuerpo (o anillo conmutativo) ''K''. Aquí la multiplicación es multiplicación ordinaria de matrices.

** las [[álgebra grupo]], donde un [[Grupo (matemática)|grupo]] sirve de base del espacio vectorial y la multiplicación del álgebra amplía la multiplicación del grupo.

** el álgebra conmutativa ''K''[''x''] de todos los [[polinomio]]s sobre ''K'', es un espacio vectorial de dimensión infinita ([[alef-0]]) sobre el cuerpo en el que se definen.

** las álgebras de funciones, tales como el '''R'''-álgebra de todas las [[función continua|funciones continuas]] real-valoradas definidas en el intervalo [0, 1], o la '''C'''-álgebra de todas las funciones holomórficas definidas en algún conjunto abierto en el [[plano complejo]]. Éstas son también conmutativos.

** las [[álgebra de incidencia|álgebras de incidencia]] se construyen sobre ciertos [[conjunto parcialmente ordenado|conjuntos parcialmente ordenados]].

** las álgebras de [[operador lineal|operadores lineales]], por ejemplo en un [[espacio de Hilbert]]. Aquí la multiplicación del álgebra viene dada por la [[función compuesta|composición]] de operadores. Estas álgebras también llevan una [[topología]]; se definen muchas de ellas en un espacio subyacente de Banach que las convierte en un [[álgebra de Banach]]. Si una involución se da también, obtenemos [[B-estrella-álgebra]]s y [[C-estrella-álgebra]]s. Éstas se estudian en [[análisis funcional]].

=== Álgebras no asociativas ===

Las clases más conocidas de [[álgebra no asociativa|álgebras no-asociativas]] son las que son casi asociativas, es decir, en que una cierta ecuación simple obliga las diferencias entre diversas maneras de asociar la multiplicación de elementos. Éstos incluyen:

* [[Álgebra de Lie]], para las cuales requerimos la [[identidad de Jacobi]] z ''('' xy '')'' + (''yz'') ''x'' + (''zx'') ''y'' = 0 y [[anticonmutatividad]]: ''xx'' = 0. Para estas álgebra el producto se llama el ''corchete de Lie'' y se escribe [ ''x,y'' ] en vez de ''xy''. Los ejemplos incluyen:

** [[Espacio euclidiano]] '''R'''³ con la multiplicación dada por el [[producto vectorial]] (con ''K'' el cuerpo '''R''' de los [[números reales]]);

** Álgebra de los [[campo vectorial|campos vectoriales]] en una [[variedad (matemática)|variedad]] diferenciable (si ''K'' es '''R''' o los números complejos '''C''') o una [[variedad algebraica]] (para el general ''K'');

** Cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie usando el [[conmutador de dos operadores|conmutador]] como corchete de Lie. De hecho cada álgebra de Lie se puede construir de esta manera, o es una subálgebra de un álgebra de Lie así construida.

* [[Álgebra de Jordan]], para las cuales requerimos (''xy'')''x''² = ''x''(''yx''²) y también ''xy'' = ''yx''.

** Cada álgebra asociativa sobre un cuerpo de [[Característica (matemática)|característica]] distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan definiendo una nueva multiplicación ''x*y'' = (1/2)(''xy'' + ''yx''). En contraste con el caso del álgebra de Lie, no toda álgebra de Jordan se puede construir de esta manera. Las que si se pueden se llaman ''especiales''.

* [[Álgebra alternativa|Álgebras alternativas]], para las cuales requerimos que (''xx'')''y'' =''x''(''xy'') y (''yx'')''x'' = ''y''(''xx''). Los ejemplos más importantes son los [[octoniones]] (un álgebra sobre los reales), y generalizaciones de los octoniones sobre otros cuerpos. (todas las álgebras asociativas son obviamente alternativas.) Salvo isomorfismo las únicas álgebras alternativas reales finito-dimensionales son los reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones.

* [[Álgebra potencia-asociativa|Álgebras potencia-asociativas]], para las cuales requerimos que ''x^mxⁿ'' = ''x^m+n'', donde ''m'' ≥ 1 y ''n'' ≥ 1. (aquí definimos formalmente ''xⁿ⁺¹'' recurrentemente como ''x'' (''x'' ^''n'').) Los ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, y los [[sedeniones]].

=== Más clases de álgebra ===

* Las [[álgebra de división|álgebras de división]], en las cuales el inverso multiplicativo existe o la división puede ser realizada. Las álgebras finito-dimensionales de división sobre el cuerpo de los números reales se pueden clasificar bien.

* [[Álgebra cuadrática|Álgebras cuadráticas]], para las cuales requerimos ''xx''=''re'' + ''sx'', para algunos elementos ''r'' y ''s'' en el cuerpo de base, y ''e'' una unidad para el álgebra. Los ejemplos incluyen todas las álgebras alternativas finito-dimensionales, y el álgebra de las matrices reales 2-por-2. Salvo un isomorfismo las únicas álgebras reales alternativas, cuadráticas sin divisores de cero son los reales, los complejos, los cuaterniones, y los octoniones.

* Las [[construcción de Cayley-Dickson|álgebras de Cayley-Dickson]] (donde ''K'' es '''R''', que comienzan con:

** '''C''' (una álgebra conmutativa y asociativa);

** los [[cuaterniones]] '''H''' (una álgebra asociativa);

** los [[octoniones]] (un [[álgebra alternativa]]);

** los [[sedeniones]] (un [[álgebra potencia-asociativa]], como todas las álgebras de Cayley-Dickson).

* Las [[álgebra de Poisson|álgebras de Poisson]] se consideran en la [[cuantización geométrica]]. Tienen '''dos''' multiplicaciones, haciéndolas álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diversas maneras.

* [[Álgebra de Clifford]]

* [[Álgebra geométrica]]

* [[Álgebra simple central]]