Diferencia entre revisiones de «Modelo de Kuramoto»
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[[File:KuramotoModelPhaseLocking.ogv|thumb|right|Bloqueo de fases en el modelo de Kuramoto|upright=1.1]]
El '''modelo Kuramoto''' (o '''modelo Kuramoto-Daido'''), propuesto por primera vez por {{nihongo|[[Yoshiki Kuramoto]]|蔵本 由紀|Kuramoto Yoshiki}},<ref>{{cita libro |last = Kuramoto | first = Yoshiki |title = Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics |volumen = 39 |editor = Springer-Verlag, New York |página = 420 |año = 1975 |editor= H. Araki}}</ref><ref>{{cita libro | author = Kuramoto Y | title = Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence | publisher = New York, NY: Springer-Verlag | año = 1984 }}</ref> es un [[modelo matemático]] utilizado para describir la [[sincronización]]. Más concretamente, es un modelo para el comportamiento de un gran conjunto de [[osciladores]] acoplados.<ref>{{cite journal | autor = Strogatz S | título = De Kuramoto a Crawford: Explorando el inicio de la sincronización en poblaciones de osciladores acoplados | journal = Physica D | volume = 143 | issue = 1-4| pages = 1-20 | year = 2000 | bibcode = 2000PhyD..143.... 1S | doi = 10.1016/S0167-2789(00)00094-4| url = http://www.math.pitt.edu/~bard/bardware/classes/mathneuro/strogatz_crawford.pdf }}</ref><ref>{cite journal | last1 = Acebrón | first1 = Juan A. | last2 = Bonilla | first2 = L. L. | last3 = Vicente | first3 = Pérez | last4 = Conrad | first4 = J. | last5 = Ritort | first5 = Félix | last6 = Spigler | first6 = Renato | journal = Reviews of Modern Physics | pages = 137-185 | title = El modelo Kuramoto: Un paradigma simple para los fenómenos de sincronización | url = http://scala.uc3m.es/publications_MANS/PDF/finalKura.pdf | volumen = 77 | número = 1 | año = 2005|bibcode = 2005RvMP...77..137A |doi = 10.1103/RevModPhys.77 .137 | hdl = 2445/12768 | hdl-access = free }}</ref> Su formulación fue motivada por el comportamiento de sistemas de osciladores [[químicos]] y [[procesos biológicos|biológicos]], y ha encontrado amplias aplicaciones en áreas como la neurociencia<ref>{cite journal | last1 = Bick | first1 = Christian | last2 = Goodfellow | first2 = Marc | last3 = Laing | first3 = Carlo R. | last4 = Martens | first4 = Erik A. | journal = Journal of Mathematical Neuroscience | pages = 9 | title = Understanding the dynamics of biological and neural oscillator networks through exact mean-field reductions: a review | volume = 10 | issue = 1 | year = 2020 | doi = 10.1186/s13408-020-00086-9 | pmid = 32462281 | pmc = 7253574 | doi-access = free }}/ref>{cite journal | last1 = Cumin | first1 = D. | last2 = Unsworth | first2 = C. P. | doi = 10.1016/j.physd.2006.12.004 | issue = 2 | journal = Physica D | pages = 181-196 | title = Generalización del modelo de Kuromoto para el estudio de la sincronización neuronal en el cerebro | volume = 226 | year = 2007 | bibcode = 2007PhyD..226..181C }}</ref><ref>{cite journal | doi = 10.3389/fnhum.2010 .00190 |pmid=21151358 |pmc=2995481 |vauthors=Breakspear M, Heitmann S, Daffertshofer A | title = Modelos generativos de oscilaciones corticales: Implicaciones neurobiológicas del modelo Kuramoto | journal = Front Hum Neurosci | volume = 4 | issue = 190 | year = 2010 |page=190 }}</ref><ref>{{cite journal | doi = 10.1016/j.neuroimage.2013 .11. 047 |vauthors=Cabral J, Luckhoo H, Woolrich M, Joensson M, Mohseni H, Baker A, Kringelbach ML, Deco G | title = Explorando los mecanismos de la conectividad funcional espontánea en MEG: Cómo las interacciones de red retardadas conducen a las envolventes de amplitud estructurada de las oscilaciones filtradas por paso de banda | journal = NeuroImage | volume = 90 | pages = 423-435 | year = 2014 | pmid=24321555| doi-access = free }}</ref> y la dinámica de llamas oscilantes. <ref>{cite journal | last1 = Sivashinsky | first1 = G.I. | doi = 10.1080/00102207708946779 |issue = 3-4 | journal = Combust. Sci. and Tech. | páginas = 137-146 | título = Teoría difusional-térmica de llamas celulares | volumen = 15 | año = 1977 }}</ref><ref>{cite journal | last1 = Forrester | first1 = D.M. | doi = 10.1038/srep16994 | pmid = 26582365 | pmc = 4652215 | journal = Scientific Reports | páginas = 16994 | título = Arrays of coupled chemical oscillators | volumen = 5 | año = 2015 |bibcode = 2015NatSR. ..516994F | arxiv = 1606.01556 }}</ref> Kuramoto se sorprendió bastante cuando vio que el comportamiento de algunos sistemas físicos, concretamente las matrices acopladas de uniones de Josephson, seguían su modelo.<ref>Steven Strogatz, ''Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order'', Hyperion, 2003.</ref>▼
▲El '''modelo de Kuramoto''' (o '''modelo de Kuramoto-Daido''')
El modelo hace varias suposiciones, incluyendo que hay un acoplamiento débil, que los osciladores son idénticos o casi idénticos, y que las interacciones dependen sinusoidalmente de la diferencia de fase entre cada par de objetos.
== Ecuaciones del modelo ==
=== Definición inicial ===
En la versión más conocida del modelo de Kuramoto, se considera que cada uno de los osciladores tiene su propia [[frecuencia natural]] intrínseca <math>\omega_i</math>, y cada uno está acoplado por igual a todos los demás osciladores. Sorprendentemente, este modelo totalmente no lineal puede resolverse exactamente cuando el número de osciladores N tiende a infinito, ''N''→ ∞;<ref><nowiki>{cite journal | last1 = Bick | first1 = Christian | last2 = Goodfellow | first2 = Marc | last3 = Laing | first3 = Carlo R. | last4 = Martens | first4 = Erik A. | journal = Journal of Mathematical Neuroscience | pages = 9 | title = Comprender la dinámica de las redes de osciladores biológicos y neuronales a través de reducciones exactas de campo medio: una revisión | volume = 10 | issue = 1 | year = 2020 | doi = 10. 1186/s13408-020-00086-9 | pmid = 32462281 | pmc = 7253574 | doi-access = free }}</nowiki></ref> alternativamente, utilizando argumentos de autoconsistencia se pueden obtener soluciones de estado estacionario de r, el parámetro que describe el grado de sincronización del sistema.<ref>{cite journal | author = Strogatz S | title = From Kuramoto to Crawford: Explorando el inicio de la sincronización en poblaciones de osciladores acoplados | journal = Physica D | volume = 143 | issue = 1-4| pages = 1-20 | year = 2000 | bibcode = 2000PhyD..143....1S| doi = 10.1016/S0167-2789(00)00094-4| url = http://www.math.pitt.edu/~bard/bardware/classes/mathneuro/strogatz_crawford.pdf<nowiki> }}</nowiki></ref>
La forma más popular del modelo tiene las siguientes ecuaciones de gobierno:
<math> \frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + \frac{K}{N} \sum_{j=1}^{N} \sin(\theta_j - \theta_i), \qquad i = 1 \ldots N</math>,
donde el sistema se compone de ''N'' osciladores de ciclo límite, con fases <math> \theta_i </math> y constante de acoplamiento ''K''. Se puede añadir ruido al sistema mediante la introducción de un parámetro, <math>\zeta_{i}</math>, que fluctúa en función del tiempo, generando la nueva ecuación:
<math>
\frac{d \theta_i}{d t} = \omega_{i}+\zeta_{i}+\dfrac{K}{N}\sum_{j=1}^Nsin(\theta_{j}-\theta_{i})
</math>
=== Parámetros de orden ===
Para resolver este modelo, definimos dos nuevos "parámetros de orden": ''r'', que representa la [[coherencia (física)|coherencia de fase]] de la población de osciladores y ''ψ'', que indica la fase media. Así:
:<math>re^{i \psi} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} e^{i \theta_j}
\Rightarrow
\frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i + K r \sin(\psi-\theta_i) </math>
De esta manera, las ecuaciones de los osciladores ya no están explícitamente acopladas, sino que son los parámetros de orden los que gobiernan el comportamiento. Se puede hacer una transformación más, a un marco de rotación en el que la media estadística de las fases sobre todos los osciladores es cero (es decir, <math>\psi=0</math>), de manera que las ecuaciones de gobierno se convertirían en:
<math> \frac{d \theta_i}{d t} = \omega_i - K r \sin(\theta_i) </math>.
=== ''Transformación cuando N'' → ∞ ===
Consideremos ahora el caso cuando ''N'' tiende a infinito. Tomemos la distribución de las frecuencias naturales intrínsecas como ''g''(''ω'') ([[constante de normalización|normalizada]]). Entonces supongamos que la densidad de osciladores en una fase dada ''θ'', con una frecuencia natural dada ''ω'', en el tiempo ''t'' es <math>\rho(\theta, \omega, t)</math>. La normalización requiere que
:<math> \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \theta}[\rho v] = 0, </math>
La [[ecuación de continuidad]] para la densidad del oscilador será
:<math> \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \theta}[\rho \omega + \rho K r \sin(\psi-\theta)] = 0. </math>
donde ''v'' es la velocidad de deriva de los osciladores dada al tomar el límite infinito-''N'' en la ecuación de gobierno transformada, tal que
<math>
r e^{i \psi} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{i \theta} \int_{-\infty}^{\infty} \rho(\theta, \omega, t) g(\omega) \, d \omega \, d \theta.
</math>
Por último, debemos reescribir la definición de los parámetros de orden para el límite del continuo (infinito ''N''). <math>\theta_i</math> debe sustituirse por su media de conjunto (sobre todo <math>\omega</math>) y la suma debe sustituirse por una integral, para dar
<math>
r e^{i \psi} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{i \theta} \int_{-\infty}^{\infty} \rho(\theta, \omega, t) g(\omega) \, d \omega \, d \theta.
</math>
== Soluciones ==
El estado [[Coherencia (física)|inherente]] con todos los osciladores derivando aleatoriamente corresponde a la solución <math>\rho = 1/(2\pi)</math>. En ese caso <math>r = 0</math>, y no hay coherencia entre los osciladores. Se distribuyen uniformemente a través de todas las fases posibles, y la población se encuentra en un [[estado estacionario]] estadístico (aunque los osciladores individuales siguen cambiando de fase de acuerdo con su ''ω'' intrínseco).
Cuando el acoplamiento ''K'' es suficientemente fuerte, es posible una solución totalmente sincronizada. En el estado totalmente sincronizado, todos los osciladores comparten una frecuencia común, aunque sus fases pueden ser diferentes.
Una solución para el caso de la sincronización parcial produce un estado en el que sólo algunos osciladores (los que están cerca de la frecuencia natural media del conjunto) se sincronizan; otros osciladores derivan de forma incoherente. Matemáticamente, el estado tiene
:<math>\rho = \delta\left(\theta - \psi - \arcsin\left(\frac{omega}{K r}\right)\right)</math>
para los osciladores bloqueados, y
:<math>\rho = \frac{\rm{normalization \; constant}}{(\omega - K r \sin(\theta - \psi))}</math>
para osciladores a la deriva. El corte se produce cuando <math>|\omega| < K r </math>.
== Referencias ==
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