Diferencia entre revisiones de «Principio de acción»

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El principio también se llama '''principio de acción estacionaria''' y [[principio de menor acción]] o [[principio de mínima acción]] (aunque esta forma es menos general y de hecho para ciertos sistemas es incorrecto hablar de mínima acción). Restringido a la mecánica clásica el principio admite una formulación particular conocida como [[principio de Hamilton]].
 
== Historia ==
El principio de menor acción primero fue formulado por Maupertuis en 1746 y después desarrollado (de 1748 en adelante) por los matemáticos [[Leonhard Euler|Euler]], [[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrange]], y [[William Rowan Hamilton|Hamilton]]. Maupertuis llegó a este principio por la sensación de que la misma perfección del universo exige cierta economía en la naturaleza y está opuesta a cualquier gasto innecesario de energía. Los movimientos naturales deben usar alguna cantidad al mínimo. Era solamente necesario encontrar esa cantidad, y esto procedió a hacer. Era el producto de la duración (tiempo) del movimiento dentro de un sistema por la "vis viva" (violencia o fuerza viva) o dos veces lo qué ahora llamamos la energía cinética del sistema. Euler (en "Reflexions sur quelques loix generales de la nature.", [[1748]]) adopta el principio de la menor acción, llamando a la cantidad "effort". Su expresión corresponde a lo que ahora llamaríamos energía potencial, de modo que su declaración de menor acción en estática es equivalente al principio de que un sistema de cuerpos en reposo adoptará una configuración que reduzca al mínimo su energía potencial total.
 
=== Importancia en física moderna ===
El principio de acción surgió en el contexto de la [[mecánica clásica]], como una generalización de las [[leyes de Newton]]. De hecho en [[sistema inercial|sistemas inerciales]] el principio de mínima acción y las leyes de Newton son equivalentes. Sin embargo, la mayor facilidad para generalizar el principio de acción lo hace preferible en cierto tipo de aplicaciones complejas, lo cual hace que el principio ocupe un papel central en la física moderna. De hecho, este principio es una de las grandes generalizaciones en [[física|ciencia física]]. En particular, se lo aprecia completamente y se lo entiende mejor dentro de la mecánica cuántica o la [[teoría de campos]]. La formulación de Feynman de la mecánica cuántica se basa en un principio de acción estacionaria, usando integrales de trayectorias. Las [[ecuaciones de Maxwell]] puede ser derivadas como condiciones de una acción estacionaria.
 
En [[mecánica clásica]] (no-relativista, no cuántica), la elección correcta de la acción puede ser derivada de las [[leyes de Newton]] del movimiento. Inversamente, el principio de acción prueba la ecuación de Newton del movimiento dada la elección correcta de la acción. Por tanto en mecánica clásica el '''principio de acción''' es equivalente a la ecuación de Newton del movimiento. El uso del principio de acción es a menudo más simple que el uso directo de la ecuación de Newton del movimiento. El principio de acción es una teoría escalar, con derivaciones y aplicaciones que emplean cálculo elemental..
 
=== El principio de acción en la mecánica clásica ===
== Historia ==
El principio de menor acción primero fue formulado por Maupertuis en 1746 y después desarrollado (de 1748 en adelante) por los matemáticos [[Leonhard Euler|Euler]], [[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrange]], y [[William Rowan Hamilton|Hamilton]]. Maupertuis llegó a este principio por la sensación de que la misma perfección del universo exige cierta economía en la naturaleza y está opuesta a cualquier gasto innecesario de energía. Los movimientos naturales deben usar alguna cantidad al mínimo. Era solamente necesario encontrar esa cantidad, y esto procedió a hacer. Era el producto de la duración (tiempo) del movimiento dentro de un sistema por la "vis viva" (violencia o fuerza viva) o dos veces lo qué ahora llamamos la energía cinética del sistema. Euler (en "Reflexions sur quelques loix generales de la nature.", [[1748]]) adopta el principio de la menor acción, llamando a la cantidad "effort". Su expresión corresponde a lo que ahora llamaríamos energía potencial, de modo que su declaración de menor acción en estática es equivalente al principio de que un sistema de cuerpos en reposo adoptará una configuración que reduzca al mínimo su energía potencial total.
 
== El principio de acción en la mecánica clásica ==
Las [[leyes de Newton]] del movimiento se puede establecer de varias maneras alternativas. Una de ellas es el formalismo lagrangiano, también llamada [[mecánica lagrangiana]]. Que lo enunciaremos en coordenadas generalizadas, para así poder usar cartesinas, polares o esféricas, según requiera el sistema a tratar. Si denotamos la trayectoria de una partícula en función del tiempo ''t'' como ''q(t)'', con una velocidad <math>\dot{q}(t)</math>, entonces el [[lagrangiano]] es una función dependiente de estas cantidades y posiblemente también explícitamente del tiempo:
{{ecuación|
 
:<math>L(q(t),\dot{q}(t),t)</math>
||left}}
 
la '''integral de acción''' ''S'' es la [[integral]] temporal del [[lagrangiano]] entre un punto de partida dado <math>q(t_1)</math> en el tiempo <math>t_1</math> y un punto final dado <math>q(t_2)</math> en el tiempo <math>t_2</math>
: <math> S=\int_{t_1}^{t_2} L(q(t),\dot{q}(t),t) dt </math>
 
Suponga que tenemos una integral de acción ''S'' de un integrando ''L'' que depende de las coordenadas <math>x(t)</math> y <math>\dot{x}(t)</math>, sus derivadas con respecto a ''t'':
{{ecuación|
 
: <math> S = \int_{t_1}^{t_2}\; L(x,\dot{x}(t))dt </math>
||left}}
 
considera una segunda curva <math>x_1(t)</math> que comience y termine en los mismos puntos que la primera curva, y asume que la distancia entre las dos curvas es pequeña por todas partes:
<math>\epsilon(t) = x_1(t)-x(t)</math> es pequeño.
 
La diferencia entre los integrales a lo largo de la curva uno y a lo largo de la curva dos es:
{{ecuación|
 
: <math> \delta S = \int_{t_1}^{t_2}\; (L(x+\epsilon,\dot x+\dot\epsilon)
- L(x,\dot x))dt = \int_{t_1}^{t_2}\; \left(
\epsilon{\partial L\over\partial x} +
\dot\epsilon{\partial L\over\partial \dot x} \right)dt
</math>
||left}}
 
donde hemos utilizado la primera extensión de la orden de ''L'' en ε y <math>\dot\epsilon</math>.
Ahora utilice la integración parcial en el término pasado y utilice las condiciones <math>\epsilon (t_1)=\epsilon (t_2) = 0</math> para encontrar:
{{ecuación|
: <math>
\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\;
\left(
\right)dt
</math>
||left}}
 
''S'' alcanza un punto estacionario (un extremo), es decir. δ''S'' = 0 para cada ε. Observe que éste es el único requisito: el extremo podía ser un mínimo, punto de ensilladura o igual formalmente a un máximo. δ''S'' = 0 para cada ε si y solamente si
<div style="float:center; border:2px solid black; padding:3px; margin-left: 1em;
* [[integración funcional]], [[Ecuaciones de Euler-Lagrange]].
 
== BibliografíaReferencia ==
{{listaref}}
 
=== Bibliografía ===
Para una bibliografía anotada, considera Edwin F. Taylor reconmendado por Oswaldo Weber[http://www.eftaylor.com/pub/BibliogLeastAction12.pdf]
 
=== Enlaces externos ===
*[http://www.eftaylor.com/leastaction.html Edwin F. Taylor]
 
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