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Diferencia entre revisiones de «Teorema de la función inversa»

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En la rama de la [[matemática]] denominada [[análisis matemático]], el '''teorema de la función inversa''' proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación sea invertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho punto. El teorema puede enunciarse para aplicaciones en '''R'''<sup>n</sup> o se puede generalizar a [[variedad diferenciable|variedades diferenciables]] o [[espacios de Banach]].
 
El teorema establece que si el campo vectorial esta definido entre dos conjuntos de la misma [[dimensión topológica]], el campo tiene primeras [[derivada]]s [[continua]]s y la [[jacobiano|jacobiana]] en un punto del dominio es [[matriz invertible|invertible]], entonces el campo también es invertible localmente. Más aún, el jacobiano de la inversa en el punto imagen es igual al inverso del jacobiano en el punto, en símbolos
{{ecuación|
<math>F(p)=q \quad \Rightarrow \quad (F^{-1}(q))'=(F'(F^{-1}(q)))^{-1}\,</math>
||left}}
 
== Enunciado del Teorema ==
Sea <math>f:A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> una función [[continuamente diferenciable]]. Supongamos que para <math>a \in A</math>, la diferencial <math>DF(a)</math> es invertible y que <math>F(a)=b</math>. Entonces existen abiertos <math>U,V \subset \mathbb{R}^n</math> tales que <math>a\in U</math>, <math>b\in V</math> y <math>f:U\rightarrow V</math> es una [[función biyectiva]] por lo que la inversa <math>f^{-1}:V\rightarrow U</math> de <math>f</math> es [[continuamente diferenciable]] y por lo tanto <math>Df^{-1}(b)=[Df(a)]^{-1}</math>.
Más precisamente, el teorema de la función inversa dice que si ''F'' es una función [[continuamente diferenciable]] de un [[conjunto abierto]] ''U'' de '''R'''<sup>''n''</sup> en '''R'''<sup>''n''</sup>, y ''p'' es un punto de ''U'' de modo que la [[Jacobiano|matriz jacobiana]] de ''F'' en ''p'' es [[Matriz invertible|invertible]] (i.e. el [[Jacobiano|determinante Jacobiano]] de ''F'' en ''p'' es distinto de cero), entonces ''F'' es una función invertible cerca de ''p''. Esto quiere decir que existe una [[Entorno (topología)|vecindad]] de ''F''(''p''), en la cual existe una [[función inversa]] de ''F''. Más aún, la [[función inversa]] ''F<sup> -1</sup>'' también es [[continuamente diferenciable]].
 
== Ejemplo ==
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_función_inversa»