Diferencia entre revisiones de «Álgebra sobre un cuerpo»
Contenido eliminado Contenido añadido
Línea 35:
== Clases de álgebra y ejemplos ==
'''Un álgebra conmutativa''' es una en que la multiplicación es [[conmutatividad|conmutativa]]; un [[álgebra asociativa]] es una en que la multiplicación es [[asociatividad (álgebra)|asociativa]]. Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.
===Álgebras asociativas===
Entre los ejemplos de [[álgebra asociativa]] podemos destacar:
**el álgebra de todas las ''matrices'' ''n''-por-''n'' sobre el cuerpo (o anillo conmutativo) ''K''. Aquí la multiplicación es multiplicación ordinaria de matrices.
**las [[álgebra grupo]], donde un [[gupo (matemática)|grupo]] sirve de base del espacio vectorial y la multiplicación del álgebra amplía la multiplicación del grupo.
**el álgebra conmutativa ''K''[''x''] de todos los [[polinomio]]s sobre ''K'', es un espacio vectorial de dimensión infinita ([[alef-0]]) sobre el cuerpo en el que se definen.
**las álgebras de funciones, tales como el '''R'''-álgebra de todas las [[función continua|funciones continuas]] real-valoradas definidas en el intervalo [0, 1], o la '''C'''-álgebra de todas las funciones holomórficas definidas en algún conjunto abierto en el [[plano complejo]]. Éstas son también conmutativos.
**las [[álgebra de incidencia|álgebras de incidencia]] se construyen sobre ciertos [[conjunto parcialmente ordenado|conjuntos parcialmente ordenados]].
**las álgebras de [[operador lineal|operadores lineales]], por ejemplo en un [[espacio de Hilbert]]. Aquí la multiplicación del álgebra viene dada por la [[función compuesta|composición]] de operadores. Estas álgebras también llevan una [[topología]]; se definen muchas de ellas en un espacio subyacente de Banach que las convierte en un [[álgebra de Banach]]. Si una involución se da también, obtenemos [[B-estrella-álgebra]]s y [[C-estrella-álgebra]]s. Éstas se estudian en [[análisis funcional]].
===Álgebras no asociativas ===
Línea 51:
*[[Álgebra de Lie]], para las cuales requerimos la [[identidad de Jacobi]] z ''('' xy '')'' + (''yz'') ''x'' + (''zx'') ''y'' = 0 y [[anticonmutatividad]]: ''xx'' = 0. Para estas álgebra el producto se llama el ''corchete de Lie'' y se escribe [ ''x,y'' ] en vez de ''xy''. Los ejemplos incluyen:
**[[Espacio euclidiano]] '''R'''³ con la multiplicación dada por el [[producto vectorial]] (con ''K'' el cuerpo '''R''' de los [[números reales]]);
**Álgebra de los [[campo vectorial|campos vectoriales]] en una [[variedad (matemática)|variedad]] diferenciable (si ''K'' es '''R''' o los números complejos '''C''') o una [[variedad algebraica]] (para el general ''K'');
**Cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie usando el [[conmutador de dos operadores|conmutador]] como corchete de Lie. De hecho cada álgebra de Lie se puede construir de esta manera, o es una subálgebra de un álgebra de Lie así construida.
*[[Álgebra de Jordan]], para las cuales requerimos (''xy'')''x''² = ''x''(''yx''²) y también ''xy'' = ''yx''.
| |||