Diferencia entre revisiones de «Factor de Landé»

En mecánica cuántica, existe un efectoel llamado [[Efectoefecto Zeeman|Zeeman]] que consiste en el desdoblamiento de niveles de energía en un átomo cuando se aplica un campo magnético externo. Cuando el campo es lo bastante débil, se puede aplicar la [[teoría de perturbaciones]] para obtener el valor del desdoblamiento.

El resultado al que se llega es que el aumento (o disminución) en la energía de un nivel concreto depende de los números cuánticos S, L, J y M_J de ese nivel. Si se considera un campo magnético <math>\vec{B}</math> paralelo a la dirección espacial ''Z'', se obteniene que la variación de energía correspondiente a un estado propio del hamiltoniano de [[Constante de estructura fina|estructura fina]] <math>| \gamma L S ; J M_J \rangle</math> es:

:{{ecuación| <math>\Delta E = \mu_B B g M_J</math> }}

Dondedonde <math>\mu_B</math> es el magnetón de Bohr y <math>g</math> es el '''factor de Landé'''., El factor de Landéque viene dado por la expresión:

:{{ecuación| <math>g = \frac{3}{2} + \frac{S (S+1) - L (L+1)}{2J (J+1)}</math> }}

:{{ecuación| <math>H_B = \frac{\mu_B}{\hbar} B (2S_z + L_z)</math> }}

:{{ecuación| <math>S_z = \dfrac{\langle \vec{J} \cdot \vec{S} \rangle}{\langle \vec{J}^2 \rangle} J_z</math> }}

:{{ecuación| <math>L_z = \dfrac{\langle \vec{J} \cdot \vec{L} \rangle}{\langle \vec{J}^2 \rangle} J_z</math> }}

Estolo nosque permite reescribir <math>H_B</math> en la forma:

:{{ecuación| <math>H_B = \frac{\mu_B}{\hbar} B \dfrac{2 \langle \vec{J} \cdot \vec{S} \rangle + \langle \vec{J} \cdot \vec{L} \rangle}{\langle \vec{J}^2 \rangle} J_z</math> }}

Por un lado, se verifica que:

:{{ecuación| <math>\langle \vec{J}^2 \rangle = \langle \gamma L S ; J M_J | \vec{J}^2 | \gamma L S ; J M_J \rangle = J (J + 1) \hbar^2</math> }}

Por otro, de forma no tan inmediata y a partir de que:

:{{ecuación| <math>\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}</math> }}

y que:

:{{ecuación| <math>\vec{L} \cdot \vec{S} = \frac{1}{2} ( \vec{J}^2 - \vec{L}^2 - \vec{S}^2 )</math> }}

:{{ecuación| <math>\langle \vec{J} \cdot \vec{S} \rangle = \langle ( \vec{L} + \vec{S} ) \cdot \vec{S} \rangle = \langle \vec{L} \cdot \vec{S} + \vec{S}^2 \rangle = \langle \frac{1}{2} ( \vec{J}^2 + \vec{S}^2 - \vec{L}^2 ) \rangle = \frac{1}{2} \hbar^2 ( J(J+1) + S(S+1) - L(L+1))</math> }}

De forma totalmente análoga se llega al resultado:

:{{ecuación| <math>\langle \vec{J} \cdot \vec{L} \rangle = \frac{1}{2} \hbar^2 ( J(J+1) - S(S+1) + L(L+1))</math> }}

:{{ecuación| <math>H_B = \dfrac{\mu_B}{\hbar} B \dfrac{3J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)} J_z</math> }}

Reagrupando, queda:

:{{ecuación|<math>H_B = \frac{\mu_B}{\hbar} B \left( \frac{3}{2} + \dfrac{S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)} \right) J_z</math> }}

:{{ecuación|<math>g = \frac{3}{2} + \dfrac{S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}</math> }}

:{{ecuación|<math>\Delta E = \langle J M_J | H_B | J M_J \rangle = \mu_B B g M_J</math> }}

[[Categoría:MagnetismoConstantes físicas]]