|
== Funciones reales de una variable real ==
[[Archivo:Función Continua 011.svg|300px|right]]
Informalmente hablando, una función '''f''' definida sobre un [[Intervalo (matemática)|intervalo]] '''I''' es '''continua''' si la '''curva''' que la representa, es decir el conjunto de los puntos ('''x''', '''f(x)'''), con '''x''' en '''I''', está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo '''I''' de '''x''' es el '''dominio de definición''' de '''f''', definido como el conjunto de los valores de '''x''' para los cuales '''f(x)''' existe.
El intervalo '''J''' de '''y''' es el '''rango''' (también conocido como '''imagen''') de '''f''', el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe '''J = f(I)'''. Notar que en general, no es igual que el [[codominio]] (sólo es igual si la función en cuestión es [[suprayectiva]].)
El mayor elemento de '''J''' se llama el '''máximo absoluto''' de '''f''' en '''I''', y el menor valor de '''J''' es su '''mínimo absoluto''' en el dominio '''I'''.
=== Continuidad de una función en un punto ===
[[Archivo:Función Continua 014.svg|300px|right]]
Definición de continuidad en un punto
:Una función '''f es continua en un punto X<sub>0</sub>''' en el dominio de la función
si:
<math>
\forall \varepsilon > 0 \quad
\exists \delta> 0 \;
</math>
tal que para toda '''x''' en el dominio de la función:
: <math> |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>
Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera:<br />
Si ''x''<sub>0</sub> es punto de acumulación del dominio de la función entonces ''f'' es continua en ''x''<sub>0</sub> si y sólo si <math>\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) </math>. Cuando ''x''<sub>0</sub> no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de <math> \mathbb{R} </math> en <math> \mathbb{R} </math>, y de una manera más rigurosa se dice que una función <math> f </math> es continua en un punto '''x<sub>1</sub>''' si existe '''f (x<sub>1</sub>)''', si existe el [[límite matemático|límite]] de '''f (x)''' cuando '''x''' tiende hacia '''x<sub>1</sub>''' por la derecha, si existe el límite de '''f (x)''' cuando '''x''' tiende hacia '''x<sub>1</sub>''' por la izquierda, y además ambos coinciden con '''f (x<sub>1</sub>)'''.
Así pues, una función '''f''' continua en el punto '''x<sub>1</sub>''' implica lo siguiente:
<math>
{ \color{Blue}(7)} \;
| 