Diferencia entre revisiones de «Cuerpo de fracciones»

{{teorema|Sea <math>R</math> un [[Dominio de integridad|dominio íntegro]] ([[Conmutatividad|conmutativo]] y unitario). Denotamos por <math>R^*</math> al [[conjunto]] <math>R \setminus \{0\}</math>. Establecemos en el conjunto <math>R \times R^*</math> la [[relación binaria|relación]] <math>\mathcal{R}</math> definida por <math>(a,b) \mathcal{R} (c,d)</math> cuando y sólo cuando <math>a \cdot d = b \cdot c</math>. Es sencillo comprobar que <math>\mathcal{R}</math> es una [[relación de equivalencia]]. Denotaremos por <math>Q(R)</math> al [[conjunto cociente]] <math>\frac{R \times R^*}{\mathcal{R}}</math>, y por <math>\frac{a}{b}</math> a la [[clase de equivalencia]] del [[par ordenado]] <math>(a,b)</math>.}}

 

=== Suma ===

Definimos la [[suma]] <math> +: Q(R) \times Q(R) \longrightarrow Q(R)</math> de la siguiente manera: <math> + (\frac{a}{b},\frac{c}{d}) := \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{(a \cdot d) + (b \cdot c)}{b \cdot d}</math>, cualesquiera que sean <math>\frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R)</math>. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro <math>\frac{0}{1}</math> y que todo elemento <math>\frac{a}{b} \in Q(R)</math> tiene por [[elemento simétrico]] (elemento opuesto) a <math>- \frac{a}{b}</math>. Así, <math>(Q(R),+)</math> es un grupo abeliano.