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== Gas de Fermi completamente degenerado ==
SupongamosSupóngase que tenemosse tiene un gas de fermiones de espín <math>s = 1/2</math> (por tanto <math>g = 2s+1 = 2</math>), por ejemplo, electrones, a una temperatura absoluta <math>T = 0 \, K</math>; los electrones a tal temperatura tratan de ponerse en los estados de menor energía de modo que la energía total alcance el valor más bajo posible, partiendo del estado de energía nula, hasta un cierto valor.
El número de estados cuánticos de un electrón en un volumen V, con impulso comprendido en el intervalo <math>(p,p+dp)</math>, viene dado por la expresión (6):
:(12) {{Ecuación| <math>2 \frac{4 \pi V p^2 \, dp}{(2 \pi \hbar)^3} = V \frac{p^2 \, dp}{\pi^2 \hbar^3}</math>|12}}
Los electrones ocupan todos los estados con impulso igual a cero (nótese que <math>\epsilon = p^2 / 2m</math>) hasta el valor <math>p=p_F</math> llamado [[Energía de Fermi|impulso de Fermi]], que equivale en el espacio de impulsos, al rayo de una esfera llamada [[Energía de Fermi|esfera de Fermi]]. El número total de electrones en estos estados viene dado por:
:(13) {{Ecuación| <math>N = \frac{V}{\pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{p_F} p^2 \, dp = \frac{V p_{F}^{3}}{3 \pi^2 \hbar^3}</math>|13}}
y de aquí podemosse puede obtener el impulso de Fermi:
:(14) {{Ecuación| <math>p_F = (3 \pi^2)^{1/3} \hbar \left(\frac{N}{V} \right)^{1/3}</math>|14}}
y la [[energía de Fermi]]:
:(15) {{Ecuación| <math>\epsilon_F = \frac{p_F^2}{2 m} = (3 \pi^2)^{2/3} \frac{\hbar^2}{2 m} \left(\frac{N}{V} \right)^{2/3}</math>|15}}
Esto se puede ver también en los números de ocupación medios (1). De hecho en el límite <math>T \to 0</math>:
:{{Ecuación| <math>\lim_{T \to 0} \overline{n_{\mathbf p}} = \lim_{T \to 0} \frac{1}{e^{(\epsilon - \mu)/kT} + 1} = \left \{ \begin{matrix}
1 & \epsilon < \mu \\ 0 & \epsilon > \mu \end{matrix} \right.</math>}}
es decir los números de ocupación medios se convierten en una función a intervalos haciéndonoshaciendo pensar en el hecho de que para <math>p<p_F</math> o <math>\epsilon < \epsilon_F</math> los electrones se disponen a partir del nivel <math>\epsilon =0</math> hasta los niveles <math>p=p_F</math> o <math>\epsilon = \epsilon_F</math> con la condición que en un nivel haya como máximo una partícula según el [[principio de exclusión de Pauli]], después de estos valores, <math>p > p_F</math> no hay más electrones que ordenar. Téngase en cuenta que: :(16) {{Ecuación| <math>\epsilon_F = \mu</math>|16}}
La energía total del gas de Fermi completamente degenerado se obtiene de la integración:
:(17){{Ecuación| <math>E = \frac{V}{2 m \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{p_F} p^4 \, dp = \frac{V p_{F}^{5}}{10 m \pi^2 \hbar^3}</math>|17}}
que, sustituyendo la expresión del impulso de Fermi (14) y, en el próximo paso, la de la energía de Fermi (15), se convierte en:
:{{Ecuación| <math>E = \frac{3(3 \pi^2)^{2/3} \hbar^2}{10 m} \left(\frac{N}{V} \right)^{2/3} N = \frac{3}{5} {N \epsilon_F}</math>}}
Al fin, usando la relación general (11), se obtiene:
:{{Ecuación| <math>P = \frac{(3 \pi^2)^{2/3} \hbar^2}{5 m} \left(\frac{N}{V} \right)^{5/3}</math>}}
es decir: la presión es proporcional a la densidad según la potencia 5/3.
[[Categoría:Mecánica cuántica]]
[[Categoría:Mecánica estadística]]
[[Categoría:Epónimos relacionados con la física]]
[[Categoría:Fermiones]]
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